Question

如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．

Answer 1

【答案】分析：根据∠BAC+∠BDC=180°得出A、B、D、C四点共圆，根据四点共圆的性质得出∠BAD=∠BCD=60°．推出A，C，E共线；由于∠ADE=60°，根据旋转得出AB=CE=3，求出AE即可．
解答：解：法1：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°，
即A、C、E共线，
∵把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，AB=3，
∴AB=CE=3，
∴AD=AE=AC+AB=3+2=5；
法2：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴四边形ABCD，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°，
即A、C、E共线，
∵把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，AB=3，
∴AB=CE=3，
∴AD=AE=AC+AB=3+2=5．
点评：本题利用了：①等边三角形的性质，三角为60度，三边相等；②四边形内角和为360度；③一个角的度数为180度，则三点共线；④角的和差关系求解．