Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠A的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F．求证：AB﹣AC=2CF．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】

根据角平分线的性质首先得出DF=DM，再利用全等三角形的判定定理求出△AFD≌△AMD，即可得出AF=AM，再利用垂直平分线的性质得出CD=BD，进而得出Rt△CDF≌Rt△BDM，即可得出CF=BM，即可得出答案．

证明：连接CD，DB，作DM⊥AB于一点M，

∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB，

∴DF=DM（角平分线上的点到角的两边距离相等）

∵AD=AD，

∠AFD=∠AMD=90°，

∴△AFD≌△AMD，

∴AF=AM，

∵DE垂直平分线BC，

∴CD=BD（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），

∵FD=DM，∠AFD=∠DMB=90°，

∴Rt△CDF≌Rt△BDM，

∴BM=CF，

∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，

∴AB=AC+2CF，

∴AB﹣AC=2CF．