Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形（各边相等，各内角为直角），E是BC边上一点，F是CD上的一点．

（1）若△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求证：∠EAF=45°；

（2）在（1）的条件下，若DF=2，CF=4，CE=3，求△AEF的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)15.

【解析】

（1）延长CF至G，使DG=BE，连接AG，由已知条件得出CE+CF+EF=CD+BC，得出DF+BE=EF，证出DF+DG=EF，即GF=EF，由SAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，证出∠EAG=90°，由SSS证明△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=×90°=45°；

（2）由已知条件得出AB=AD=CD=BC=6，BE=BC-CE=3，由（1）得：==+，即可得出答案．

（1） 证明：延长CF至G，使DG=BE，连接AG，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=BC=CD=AD，

∴∠ADG=90°，

∵△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，

∴CE+CF+EF=CD+BC，

∴DF+BE=EF，

∴DF+DG=EF，即GF=EF，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∴∠EAG=90°，

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°；

（2）解：∵DF=2，CF=4，CE=3，

∴AB=AD=CD=BC=2+4=6，BE=BC﹣CE=3，

由（1）得：==+=×6×3+×6×2=15．