Question

家惠商场服装部为促进营销、吸引顾客，决定试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%．试销过程中发现，销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）求试销期间该服装部销售该品牌服装获得利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；销售单价定为多少元时，服装部可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（4）若在试销期间该服装部获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

Answer 1

分析：（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．
（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．
（3）由w=500推出x²-180x+7700=0解出x的值即可．
（4）利用函数图象，分析得出x的取值范围即可．

解答：解：（1）根据题意得

65k+b=55 80k+b=40

，
解得k=-1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=-x+120．（2分）

（2）W=（x-60）•（-x+120）
=-x²+180x-7200
=-（x-90）²+900，（4分）
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即x-60≤60×45%，
∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W=-（87-90）²+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（6分）

（3）如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，
∴500=-x²+180x-7200，
解为 x₁=70，x₂=110（不合题意舍去）．
∴销售单价应定为70元；

（4）由W≥500，得500≤-x²+180x-7200，
而方程x²-180x+7700=0的解为 x₁=70，x₂=110．（7分）
即x₁=70，x₂=110时利润为500元，而函数y=-x²+180x-7200的开口向下，
所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，
所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．（10分）

点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数解决实际问题是初中阶段重点题型，同学们应重点掌握．