Question

若x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两实根，则有x₁+x₂=-m，x₁x₂=n．请用这一定理解决问题：已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的两实根，且（x₁+1）（x₂+1）=8，求k的值．

Answer 1

解：由已知定理得：x₁x₂=k²+2，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²+2+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-3=0，
解得：k₁=-3，k₂=1．
又∵△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0．
解得：k≥，故k=-3舍去．
∴k的值为1．
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2，代入（x₁+1）（x₂+1）=8，即x₁x₂+（x₁+x₂）+1=8代入即可得到关于k的方程，可求出k的值，再根据△与0的关系舍去不合理的k值．
点评：解题时不要只根据（x₁+1）（x₂+1）=8，求出k的值，而忽略△与零的关系．