Question

【题目】已知抛物线y＝mx2+2mx+n与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴的负半轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）点C关于x轴的对称点为点D，当点D在以AB为直径的半圆上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点P，使BP，BD，AB三条之中，其中一条是另两条所夹角的角平分线？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣1，点B（1，0）；（2）y＝x2+x﹣；（3）点P的坐标为：（0，﹣）或（﹣4，）．

【解析】

（1）函数的对称轴为：x=-=-1，点A（-3，0），则点B（1，0）；

（2）由BE=ED，得4=1+n2，解得：n=-（正值已舍去），故点C（0，-），即可求解；

（3）分AB是角平分线、BP是角平分线、BD是角平分线三种情况，分别求解即可．

（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，

点A（﹣3，0），则点B（1，0）；

（2）点C（0，n），则点D（0，﹣n），

设圆的圆心为E（﹣1，0），

则BE＝ED，即4＝1+n2，解得：n＝﹣（正值已舍去），

故点C（0，﹣），

故抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），

即﹣3a＝﹣，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣…①；

（3）①当AB是角平分线时，

由于点D、C关于x轴对称，故点C即为点P（0，﹣）；

②当BP是角平分线时，

由于OD＝，OB＝1，故∠DBA＝60°，则BP的倾斜角为30°，

故直线BP的表达式为：y＝﹣x+b，经点B的坐标代入上式并解得：b＝，

故直线BP的表达式为：y＝﹣x+…②，

联立①②并解得：x＝﹣4或1（舍去1），故点P（﹣4，）；

③当BD是角平分线时，

同理点P（m，m﹣），

将点P的坐标代入①式并解得：x＝0或1（舍去）；

综上，点P的坐标为：（0，﹣）或（﹣4，）．