Question

18．如图，已知矩形ABCD，过D作BD的垂线，与BC延长线交于E点，F为BE的中点，连接DF，已知DF=4，设AB=x，AD=y，求代数式x²+（y-4）²的值．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4-y，由勾股定理求出DF²，即可得出所求代数式的值．

解答 解：由题意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4-y，
在Rt△CDF中，DF²=CD²+CF²=x²+（y-4）²=16．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握勾股定理，证出DF=BF是解决问题的关键．