Question

11．在平面直角坐标系中，已知抛物线C₁：y=a（x-3）²过点（0，1），顶点为P，将抛物线C₁向下平移h（h＞0）个单位长度得到抛物线C₂
过点M（0，m²）（m＞0）作直线l平行于x轴，与两抛物线从左到右分别相交于A，B，C，D四点，若A，C两点关于y轴对称，点G在抛物线C₁上，四边形APCG是平行四边形．
（1）求a的值；
（2）求证：点M为PG中点；
（3）求m的值；
（4）求抛物线C₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）把（0，1）代入y=a（x-3）²求出a即可；
（2）先由轴对称得：点M是AC的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可知：PG也过点M，且点M也是PG的中点；
（3）作辅助线构建两直角三角形，证全等，得出点G的坐标，代入抛物线C₁的解析式即可求出m的值；
（4）由对称性表示出点A的坐标，代入抛物线C₂的解析式，求出h的值，写出解析式即可．

解答 解：（1）把（0，1）代入y=a（x-3）²得：1=a（0-3）²，
a=$\frac{1}{9}$；
（2）连接PG，
∵A，C两点关于y轴对称且AC交y轴于M，
∴M是AC的中点，
∵四边形APCG是平行四边形，
∴PG一定过点M，
∴点M为PG中点；
（3）抛物线C₁：y=$\frac{1}{9}$（x-3）²，P（3，0），
当y=m²时，$\frac{1}{9}$（x-3）²=m²，
（x-3）²=9m²，
x-3=±3m，
x₁=3+3m，x₂=3-3m，
过G作GH⊥AC，垂足为H，
∵MG=MP，∠GMH=∠MPO，∠GHM=∠MOP=90°，
∴△GHM≌△MOP，
∴GH=MO=m²，HM=OP=3，
∴G（-3，2m²），
∵G在抛物线C₁上，
∴2m²=$\frac{1}{9}$（-3-3）²，
2m²=4，
m=±$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$；
（4）M（0，2），C（3+3$\sqrt{2}$，2），
∵A，C两点关于y轴对称，
∴A（-3-3$\sqrt{2}$，2），
∵抛物线C₂的解析式为：y=$\frac{1}{9}$（x-3）²-h且点A在抛物线C₂上，
∴2=$\frac{1}{9}$（-3-3$\sqrt{2}$-3）²-h，
h=$\frac{1}{9}$（6+3$\sqrt{2}$）²-2，
h=$\frac{1}{9}$（54+36$\sqrt{2}$）-2=4+4$\sqrt{2}$，
∴抛物线C₂的解析式为：y=$\frac{1}{9}$（x-3）²-4-4$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的顶点式及平移问题，还考查了平行四边形的性质和轴对称的性质；本题把函数和几何问题有机结合在一起，通过证两直角三角形全等得相等线段，表示出抛物线上点的坐标，利用抛物线的解析式这一等量关系列方程得出m和h的值，使问题得以解决．