【题目】将两块斜边长相等的等腰直角三角板按如图①摆放,斜边AB分别交CD,CE于M,N点.
(1)如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF,连接FM,如图②,求证:△CMF≌△CMN;
(2)将△CED绕点C旋转,则:
①当点M,N在AB上(不与点A,B重合)时,线段AM,MN,NB之间有一个不变的关系式,请你写出这个关系式,并说明理由;
②当点M在AB上,点N在AB的延长线上(如图③)时,①中的关系式是否仍然成立?
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②仍然成立.
【解析】
(1)根据旋转的性质可得CF=CN,∠ACF=∠BCN,再求出∠ACM+∠BCN=45°,从而求出∠MCF=45°,然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等即可;
(2)①根据全等三角形对应边相等可得FM=MN,再根据旋转的性质可得AF=BN,∠CAF=∠B=45°,从而求出∠BAF=90°,再利用勾股定理列式即可得解;
②把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF,根据旋转的性质可得AF=BNCF=CN,∠BCN=∠ACF,再求出∠MCF=∠MCN,然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等,根据全等三角形对应边相等可得MF=MN,然后利用勾股定理列式即可得解.
(1)∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF,
∴CF=CN,∠ACF=∠BCN,
∵∠DCE=45°,
∴∠ACM+∠BCN=45°,
∴∠ACM+∠ACF=45°,
即∠MCF=45°,
∴∠MCF=∠MCN,
在△CMF和△CMN中,
,
∴△CMF≌△CMN(SAS);
(2)①∵△CMF≌△CMN,
∴FM=MN,
又∵∠CAF=∠B=45°,
∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AM2+AF2=FM2,
∴AM2+BN2=MN2;
②如图,把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF,
则AF=BN,CF=CN,∠BCN=∠ACF,
∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-(45°-∠BCN)-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°,
∴∠MCF=∠MCN,
在△CMF和△CMN中,
,
∴△CMF≌△CMN(SAS),
∴FM=MN,
∵∠ABC=45°,
∴∠CAF=∠CBN=135°,
又∵∠BAC=45°,
∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°,
∴AM2+AF2=FM2,
∴AM2+BN2=MN2.
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【题目】在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,若AB=4,BC=4,CD=1,问:在BC上是否存在点P,使得AP⊥PD?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在中,,以为直径作,点D在上,,,垂足为点E,与和分别交于点M、F.连接、、.
(1)证明:是的切线;
(2)若,,求的半径长;
(3)在(2)的条件下,求的长.
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【题目】桌面倒扣着背面图案相同的四张卡片,其正面分别标记有数字,先任意抽取一张,卡片上的数记作x,不放回,再抽取一张,卡片上的数字记作y,设点A的坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点A所有的坐标情况;
(2)求点A在抛物线上的概率.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:AD2=DPPC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.
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【题目】如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC的顶点A的坐标为(﹣3,4).
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1,并写出A1的坐标;
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2,并写出A2的坐标;
(3)求出(2)中点A所经过的路径的长度.
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【题目】如图所示,已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=﹣时,y取最大值.
(1)求抛物线和直线的解析式;
(2)设点P是直线AC上一点,且S△ABP:S△BPC=1:3,求点P的坐标;
(3)若直线y=x+a与(1)中所求的抛物线交于M、N两点,问:
①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
②猜想当∠MON>90°时,a的取值范围(不写过程,直接写结论).
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【题目】为了在校运会中取得更好的成绩,小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是米,当铅球运行的水平距离为3米时,达到最大高度的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米?
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