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【题目】将两块斜边长相等的等腰直角三角板按如图①摆放斜边AB分别交CD,CE于M,N点.

(1)如果把图①中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF连接FM如图②,求证:△CMF≌△CMN;

(2)将△CED绕点C旋转则:

当点M,N在AB上(不与点A,B重合)时线段AM,MN,NB之间有一个不变的关系式请你写出这个关系式并说明理由;

当点M在AB上点N在AB的延长线上(如图③)时,①中的关系式是否仍然成立?

【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②仍然成立.

【解析】

(1)根据旋转的性质可得CF=CN,ACF=BCN,再求出∠ACM+BCN=45°,从而求出∠MCF=45°,然后利用边角边证明CMFCMN全等即可;

(2)①根据全等三角形对应边相等可得FM=MN,再根据旋转的性质可得AF=BN,CAF=B=45°,从而求出∠BAF=90°,再利用勾股定理列式即可得解;

②把BCN绕点C逆时针旋转90°得到ACF,根据旋转的性质可得AF=BNCF=CN,BCN=ACF,再求出∠MCF=MCN,然后利用边角边证明CMFCMN全等,根据全等三角形对应边相等可得MF=MN,然后利用勾股定理列式即可得解.

(1)∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到ACF,

CF=CN,ACF=BCN,

∵∠DCE=45°,

∴∠ACM+BCN=45°,

∴∠ACM+ACF=45°,

即∠MCF=45°,

∴∠MCF=MCN,

CMFCMN中,

∴△CMF≌△CMN(SAS);

(2)①∵△CMF≌△CMN,

FM=MN,

又∵∠CAF=B=45°,

∴∠FAM=CAF+BAC=45°+45°=90°,

AM2+AF2=FM2

AM2+BN2=MN2

②如图,把BCN绕点C逆时针旋转90°得到ACF,


AF=BN,CF=CN,BCN=ACF,

∵∠MCF=ACB-MCB-ACF=90°-(45°-BCN)-ACF=45°+BCN-ACF=45°,

∴∠MCF=MCN,

CMFCMN中,

∴△CMF≌△CMN(SAS),

FM=MN,

∵∠ABC=45°,

∴∠CAF=CBN=135°,

又∵∠BAC=45°,

∴∠FAM=CAF-BAC=135°-45°=90°,

AM2+AF2=FM2

AM2+BN2=MN2

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