Question

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+12的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=2x交于点C．
（1）过B点作直线与x轴交于点M，若△ABM的面积为24，试求点M的坐标．
（2）如图2，∠AOC的平分线ON交AB于点E，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索：AQ+PQ是否存在最小值？若存在，在图2中画出点P和点Q，并求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得A、B的坐标，点M的坐标的坐标是（a，0），然后根据三角形的面积公式即可求得a的值，得到M的坐标；
（2）当A、Q、H在同一直线上，且AH⊥OC时，AQ+HQ最小．即AQ+PQ存在最小值，求得OC的长，利用三角形的面积公式即可求得AQ+PQ的最小值．

解答：解（1）在y=-2x+12中，令y=0，解得：x=6，
令x=0，解得：y=12，
则A的坐标是（6，0），B的坐标是（0，12），
设点M的坐标的坐标是（a，0），则

1

2

|a-6|×12=24，
解得：a=2或10，
∴M（2.0）或（10.0）；
（2）存在．
由题意，在OC上截取OH=OP，连结HQ，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
在△POQ和△HOQ中，

OH=OP ∠HOQ=∠POQ OQ=OQ

，
∴△POQ≌△HOQ（SAS），
∴PQ=HQ，
∴AQ+PQ=AQ+HQ，
当A、Q、H在同一直线上，且AH⊥OC时，AQ+HQ最小．即AQ+PQ存在最小值．
解方程组

y=-2x+12 y=2x

，
解得：

x=3 y=6

所以C（3，6），OC=3

5

，
S_△ABC=

1

2

×6×6=

1

2

×3

5

×AH，
解得AH=

12 5

5

．
∴这个最小值为

12 5

5

．

点评：本题是一次函数和对称的性质的综合应用，正确确定AQ+HQ最小的条件是本题的关键．