【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0,c>0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且以AB为直径的圆经过点C.
(1)若点A(﹣2,0),点B(8,0),求ac的值;
(2)若点A(x1,0),B(x2,0),试探索ac是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
(3)若点D是圆与抛物线的交点(D与 A、B、C 不重合),在(1)的条件下,坐标轴上是否存在一点P,使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似?若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)ac=﹣1;(2)ac的值是定值,为﹣1;(3)P的坐标为(2,0)或(﹣,0)或(0, )或(0,16).
【解析】试题分析:(1)设圆心点为M,利用A、B的坐标求出圆的半径,然后根据勾股定理求出OC的长,求得C点,然后利用x轴的交点式y=a(x+2)(x﹣8)代入C点的坐标得到函数的解析式即可求解;
(2)根据坐标系中交点的坐标,利用三角形相似的判定得到△OAC∽△OCB,再根据相似三角形的性质,结合一元二次方程根与系数的关系求出ac=-1是一个定值;
(3)根据题意,分为点P在x轴上或点P在y轴上两种情况,结合相似三角形的判定与性质可求P点的坐标.
试题解析:(1)设圆心为点M,
∵A(﹣2,0),B(8,0),
∴M(3,0),⊙M的半径为5,
∴OC==4,
∴C(0,4),
设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣8),
∵点C在抛物线上,
∴a×2×(﹣8)=4,
∴a=﹣,
∴y=﹣(x+2)(x﹣8)=﹣x2+x+4,
∴a=﹣,b=4,
∴ac=﹣1;
(2)ac的值是定值,为﹣1,
理由:∵点A(x1,0),B(x2,0),
∴OA=x1,OB=x2,OC=c,
∵∠OAC+∠OCA=90°,∠OCB+∠OCA=90°,
∴∠OAC=∠OCB,
∵∠AOC=∠BOC=90°,
∴△OAC∽△OCB,
∴,
∴OC2=OAOB,
∴c2=﹣x1x2,
令y=0时,0=ax2+bx+c,
∴x1x2=,
∴c2=﹣,
∴ac=﹣1;
(3)∵点D是圆与抛物线的交点(D与 A、B、C 不重合),C(0,4),
∴D(6,4),即:CD∥AB,
当点P在x轴上时,如图1,设点P的坐标为(m,0),
∵C(0,4),D(6,4),B(8,0),
∴BC=4,CD=6,BP=8﹣m,
∵CD∥AB,
∴∠BCD=∠ABC,
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似,
∴①,
∴,
∴m=2,
∴P2(2,0),
或②,
∴,
∴m=﹣,
∴P1(﹣,0),
当点P在y轴上时,如图2,
∵CD∥AB,
∴,
∵,
∴,
∴∠ABD=∠BCO,
∵CD∥AB,
∴∠BDC+∠ABC=180°,
∵∠BCO+∠BCy=180°,
∴∠BDC=∠BCy,
设P(0,n),
∵C(0,4),D(6,4),B(8,0),
∴BC=4,CD=6,BD=2,CP=n﹣4,
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似,
∴①,
∴,
∴n=,
∴P3(0,)
或②,
∴,
∴n=16,
∴P4(0,16),
即:满足条件的点P的坐标为(2,0)或(﹣,0)或(0,)或(0,16).
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【题目】阅读下列文字:
我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如由如图给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长为的长方形纸片,如图是由如图提供的几何图形拼接而得,可以得到
请解答下列问题:
(1)请写出如图中所表示的数学等式:______________________________;
(2)用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知则的值为_________.
(3)①请按要求利用所给的纸片拼出一个长方形,要求所拼出图形的面积为并将所拼出的图像画在的方框中;
②再利用另一种计算面积的方法,可将多项式分解因式,即_________.
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【题目】陈老师所在的学校为加强学生的体育锻炼,需要购买若干个足球和篮球,他曾两次在某商场购买过足球和篮球,两次购买足球和篮球的数量和费用如下表:
足球数量(个) | 篮球数量(个) | 总费用(元) | |
第一次 | 3 | 5 | 550 |
第二次 | 6 | 7 | 860 |
(1)求足球和篮球的标价;
(2)陈老师计划购买足球a个,篮球b个,可用资金最高为4000元;
①如果计划购买足球和篮球共60个,最多购买篮球多少个?
②如果可用资金恰好全部用完,且购买足球数量不超过篮球数量,则陈老师最多可购买足球________个.
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【题目】如图在下面平面直角坐标系中,已知A ,B ,C 三点.其中满足.
(1)求的值;
(2)如果在第二象限内有一点 ,请用含的式子表示四边形的面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在点,使四边形的面积为△的面积的两倍?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知∠BAD+∠ADC=180°,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠AEB.
(1)若∠B=86°,求∠DCG的度数;
(2)AD与BC是什么位置关系?并说明理由;
(3)若∠DAB=∠DGC=直接写出当满足什么数量关系时,AE∥DG?
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【题目】某景区月日—月日一周天气预报如图,小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游.
()随机选择一天,恰好天气预报是晴的概率是___________.
()求随机选择连续的两天,恰好天气预报都是晴的概率.
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【题目】下列命题中,是真命题的是( )
A. 长分别为32,42,52的线段组成的三角形是直角三角形
B. 连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形
C. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
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