Question

4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）

（1）求此抛物线解析式；
（2）在抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离是$\sqrt{10}$，求点D的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线C₁，若直线y=m与新抛物线C₁交于P、Q两点，点M是新抛物线C₁上一动点，连接PM，并将直线PM沿y=m翻折交新抛物线C₁于N，过Q作QS∥y轴，求证：QS必定平分MN．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）根据点A，C坐标求出直线AC解析式为y=-3x-3，再根据点D到直线AC的距离是$\sqrt{10}$，求出点F的坐标，联立方程组求解即可；
（3）设点P（-a'，a'²-4），则Q（a'，a'²-4），M（m，m²-4），N（n，n²-4）利用$\frac{{{y_M}-{y_P}}}{{{x_M}-{x_P}}}$=$\frac{{{y_P}-{y_N}}}{{{x_N}-{x_P}}}$，即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
抛物线的解析式为y=x²-2x-3 
（2）如图，

过D作DF∥AC交x轴于F，
∵A（-1，0）、C（0，-3）
∴直线AC解析式为y=-3x-3，
∴直线DF解析式为y=-3x+b，
∵点D到直线AC的距离是$\sqrt{10}$，
∴AF=$\frac{10}{3}$，F（$\frac{7}{3}$，0），
∴直线DF的解析式为y=-3x+7，
∵点D在直线DF和抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+7}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}}\\{y=\frac{17-3\sqrt{41}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}}\\{y=\frac{17+3\sqrt{41}}{2}}\end{array}\right.$
∴D（$\frac{{-1+\sqrt{41}}}{2}$，$\frac{{17-3\sqrt{41}}}{2}$）或（$\frac{{-1-\sqrt{41}}}{2}$，$\frac{{17+3\sqrt{41}}}{2}$），
（3）如图2，

设点P（-a'，a'²-4），则Q（a'，a'²-3），
M（m'，m'²-4），N（n，n²-4）
由翻折可知$\frac{{{y_M}-{y_P}}}{{{x_M}-{x_P}}}$=$\frac{{{y_P}-{y_N}}}{{{x_N}-{x_P}}}$，
即$\frac{（m{'}^{2}-4）-（a{'}^{2}-4）}{m'+a'}$=$\frac{（a{'}^{2}-4）-（{n}^{2}-4）}{n+a'}$，
∴m'-a'=a'-n
∴m'+n=2a'，
∴QS必定平分MN．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，求图象交点坐标的方法，解本题的关键是点D到直线AC的距离的应用．