Question

13．如图，点A是双曲线y=$\frac{6}{x}$在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，使∠C=120°，且点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也不断变化．但点C始终也在不断变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$上运动，则k的值是（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． -2$\sqrt{3}$
• D． -3

Answer 1

分析 作AD⊥y轴、作CE⊥y轴可得∠ADO=∠OEC=90°、∠AOD+∠OAD=90°，由点A与点B关于原点对称知OA=OB，结合△ABC为等腰三角形可知OC⊥OA、∠CAO=30°，即∠AOD+∠COE=90°，从而得∠OAD=∠COE，设点A（x，$\frac{6}{x}$），证△OAD∽△COE得$\frac{OE}{AD}$=$\frac{CE}{OD}$=$\frac{OC}{AO}$=tan∠CAO，即$\frac{OE}{x}$=$\frac{CE}{\frac{6}{x}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x、CE=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，即可得答案．

解答 解：如图，连接OC，作AD⊥y轴于点D，作CE⊥y轴于点E，

∴∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=$\frac{6}{x}$的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB
∵△ABC为等腰三角形，
∴OC⊥OA，∠CAO=30°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△OAD∽△COE，
设点A（x，$\frac{6}{x}$），即AD=x，OD=$\frac{6}{x}$，
由$\frac{OE}{AD}$=$\frac{CE}{OD}$=$\frac{OC}{AO}$=tan∠CAO，即$\frac{OE}{x}$=$\frac{CE}{\frac{6}{x}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，
则点C坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，-$\frac{\sqrt{3}x}{3}$），
∴k=-$\frac{2\sqrt{3}}{x}$×$\frac{\sqrt{3}x}{3}$=-2，
故选：B．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练运用三角形相似的判定与性质解决线段相等的问题是解题的关键．