Question

9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与l₂相交于P．点E为直线l₂上一点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象过点E且与直线l₁相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF，若△OEF的面积为△PEF面积的2倍，求点E的坐标；
（3）当k＞2时，在y轴上是否存在一点G，使△FEG是等腰直角三角形？如果存在，求出G点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）分两种情形列方程解决问题：①如图2中，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），②如图3中，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），
（3）分四种情形①如图4中，当E在P右边时，∠FEG=90°，EF=EG，设E（m，2），则F（1，2m），②如图5中，当E在P右边时，∠GFE=90°，FG=FE，作FM⊥y轴于M．设E（m，2），则F（1，2m），③如图6中，当E在P左边时，∠FEG=90°，EG=EF．设E（m，2），则F（1，2m），④如图7中，当E在P左边时，∠EFG=90°，EF=FG，作GM⊥PA于M．设E（m，2），则F（1，2m），利用全等三角形的性质，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

由题意P（1，2），把P（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得到，k=2，
∴k的值为2．

（2）①如图2中，当E在P右边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），

∵S_△OEF=S_△AOF+S_梯形AMEF-S_△OEM，S_△AOF=S_△EOM，
∴S_△OEF=S_梯形AMEF，
∵S_△EOF=2S_△PEF，
∴$\frac{2+2m}{2}$•（m-1）=2×$\frac{1}{2}$×（m-1）（2m-2），
∴m=3，
此时E（3，2）
②如图3中，当E在P左边时，作EM⊥x轴于M．设E（m，2）则F（1，2m），

同理可得，$\frac{2+2m}{2}$×（1-m）=2×$\frac{1}{2}$（1-m）×（2-2m），
∴m=$\frac{1}{3}$，
此时E（$\frac{1}{3}$，2）
综上所述，当E（3，2）或（$\frac{1}{3}$，2）时，△OEF的面积为△PEF面积的2倍．

（3）如图4中，

①当E在P右边时，∠FEG=90°，EF=EG，设E（m，2），则F（1，2m），
∵∠EPF=∠EBG，EF=EG，∠FEP=∠BEG，
∴△FEP≌△EGB，
∴PF=BE，BG=PE，
∴m=2m-2，
∴m=2，
∴BG=PE=1，
∴G（0，1）．
②如图5中，当E在P右边时，∠GFE=90°，FG=FE，作FM⊥y轴于M．设E（m，2），则F（1，2m），

由△FPE≌△FMG，得到FM=PF，MG=PE，
∴2m-2=1，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴PE=MG=$\frac{1}{2}$，BG=$\frac{1}{2}$，
∴G（0，$\frac{5}{2}$）．
③如图6中，当E在P左边时，∠FEG=90°，EG=EF．设E（m，2），则F（1，2m），

由△EFP≌△GEB，得到，EB-PF，BG=PE，
∴m=2-2m，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴BG=PE=$\frac{2}{3}$，OG=$\frac{4}{3}$，
∴G（0，$\frac{4}{3}$）．
④如图7中，当E在P左边时，∠EFG=90°，EF=FG，作GM⊥PA于M．设E（m，2），则F（1，2m），

由△EFP≌△FGM得到PE=FM，PF=GM，
∴2-2m=1，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴BG=PF+FM=$\frac{3}{2}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$，
∴G（0，$\frac{1}{2}$），
综上所述，满足条件的点G左边为（0，1）或（0，$\frac{5}{2}$） 或（0，$\frac{4}{3}$）或（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．