Question

24、如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．
（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为

相等

，位置关系为

垂直

（不需要证明）．
（2）如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明．
（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明．

Answer 1

分析：（1）由∠BFE=90°，点P为DE的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF=PD=PE，PC=PD=PE，则PC=PF，又∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，得到∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．
（2）延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，易得△PDG≌△PEF，得DG=EF=BF，得∠PEF=∠PDG，EN∥DG，可得∠FBC=∠GDC，证得△BFC≌△DGC，则FC=CG，∠BCF=∠DCG．得∠FCG=∠BCD=90°．即有PC⊥PF，PF=PC．
（3）根据题目要求画出图形，由（1）（2）得出结论．

解答：解：（1）∵∠BFE=90°，点P为DE的中点
∴PF=PD=PE，
同理可得PC=PD=PE，
∴PC=PF，
又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，
∴∠FPC=2∠FDC=90°，
所以PC=PF，PC⊥PF．
故答案为：相等、垂直；
（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：
延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，如图，
∵点P为DE的中点，
∴△PDG≌△PEF，
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG，
∴EN∥DG，
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC，
∴△BFC≌△DGC，
∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG为等腰Rt△，
∵PF=PG，
∴PC⊥PF，PF=PC；
（3）画图：
线段PC、PF有何数量关系相等，位置关系垂直．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质．