Question

8．如图，已知点A（0，3），B（4，0），点C在第一象限，且AC=5$\sqrt{5}$，BC=10，则直线OC的函数表达式为y=$\frac{4}{5}$x．

Answer 1

分析 根据OA=3、OB=4求得AB=5，由AB²+BC²=AC²知∠ABC=90°，从而可证△ABO∽△BCD得$\frac{AO}{BD}=\frac{BO}{CD}=\frac{AB}{BC}$，据此求得点C坐标，即可得出答案．

解答 解：如图，连接AB，作CD⊥x轴于点D，

∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵AC=5$\sqrt{5}$，BC=10，
∴AB²+BC²=5²+10²=125=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
∴△ABO∽△BCD，
∴$\frac{AO}{BD}=\frac{BO}{CD}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{3}{BD}=\frac{4}{CD}=\frac{5}{10}$，
解得：BD=6，CD=8，
则OD=10，
∴点C的坐标为（10，8），
设直线OC的函数表达式为y=kx，
将点C（10，8）代入，得：10k=8，即k=$\frac{4}{5}$，
∴直线OC的函数表达式为y=$\frac{4}{5}$x，
故答案为：y=$\frac{4}{5}$x．

点评 本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、勾股定理及其逆定理和相似三角形的判定与性质，根据勾股定理逆定理得出直角是解题的关键．