Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴的右交点为A，顶点D在矩形OABC的边BC上，当y≤0时，x的取值范围是1≤x≤5．
（1）求b，c的值；
（2）直线y=mx+n经过抛物线的顶点D，该直线在矩形OABC内部分割出的三角形的面积记为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²+bx+c当y≤0时，x的取值范围是1≤x≤5．
∴抛物线与x轴交于（1，0），（5，0）
∴

1+b+c=0 25+5b+c=0

解得：b=-6 c=5；

（2）∵b=-6 c=5，
∴抛物线的解析式为y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴点D的坐标为（3，-4），
∵直线y=mx+n经过抛物线的顶点D，
∴3m+n=-4，
即：n=-3m-4，
∴直线y=mx+n的解析式为y=mx-3m-4，
设直线DE与AB交于点E，
∴E点的坐标为（5，2m-4），
∴BD=2 AB=4 AE=4-2m BE=2m，
∴S=

1

2

BD•BE=±2m，
∵点E的纵坐标-5＜2m-4＜0
解得：-

1

2

＜m＜2且m≠0
∴自变量的取值范围为：-

1

2

＜m＜2且m≠0，