Question

如图，点O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）若OA=3，OC=4，OB=5，试判断△AOD的形状，并说明理由．
（3）若∠AOB=110°，∠BOC=α，请探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，
∴CO=CD．
∴△COD是等边三角形．

（2）△AOD为直角三角形，
∵△ADC≌△BOC，
∴DA=OB=5，
∵△COD是等边三角形，
∴OD=OC=4，又OA=3，
∴DA²=OA²+OD²，
∴△AOD为直角三角形．

（3）因为△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO
∵∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠BOC=190°-∠AOD，
而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO
由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°，
求得α=125°；
由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°-∠AOD
求得α=110°；
由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°-2∠AOD，
求得α=140°；
综上可知α=125°、α=110°或α=140°．
分析：（1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形；
（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°-∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．
点评：此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．