Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，过C点作⊙O的切线CG交AB延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且AF=FD．
（1）求证：CG∥AD；
（2）求证：E是OB的中点；
（3）若AB=8，阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）首先连接OD，由CG是切线，易得CG⊥CO，又由OA=OD，AF=FD，根据三线合一的性质可得：CF⊥AD，则可得CG∥AD；
（2）首先连接AC，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，易得AC=AD，同理AC=CD，则可得△ACD是等边三角形，继而可得E是OB的中点；
（3）首先由在Rt△OCE中，CE²=OC²-OE²，求得CE的长，即可求得△OCE与扇形BOC的面积，继而求得答案．

解答：（1）证明：连接OD．
∵CG是切线，
∴CG⊥CO，
∵OA=OD，AF=FD，
∴CF⊥AD，
∴CG∥AD；

（2）证明：连接AC，
∵AB⊥CD，
∴

AC

=

AD

，
∴AC=AD，
同理：AC=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
∴OE=

1

2

OC=

1

2

OB，
∴E是OB的中点；

（3）解：∵AB=8，
∴OC=4，OE=2，
在Rt△OCE中，CE²=OC²-OE²，
∴CE=2

3

，
∴S_△OCE=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_扇形BOC=

8π

3

，
∴S阴影=

8π

3

-2

3

．

点评：此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．