Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AB上一点，且AE=2，M为AD上一动点（不与A、D重合），AM=x，连结EM并延长交CD的延长线于F，过M作MG⊥EF交直线BC于点G，连结EG、FG．

（1）如图1，若M是AD的中点，求证：①△AEM≌△DFM；②△EFG是等腰三角形；
（2）如图2，当x为何值时，点G与点C重合？
（3）当x=3时，求△EFG的面积．

Answer 1

分析 （1）①与ASA证明①△AEM≌△DFM即可；②由全等三角形的性质得出EM=FM，由线段垂直平分线的性质得出EG=FG即可；
（2）证明△AEM∽△DMC，得出对应边成比例，即可得出答案；
（3）证明△AEM∽△NMG，得出对应边成比例求出MN=2AE=4，由勾股定理求出EM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，得出GM=2EM=2$\sqrt{13}$，再证明△DMF∽△NGM，求出MF=$\frac{{5\sqrt{13}}}{3}$，得出EF=EM+MF=$\frac{8\sqrt{13}}{3}$，△EFG的面积=$\frac{1}{2}$EF•GM，即可得出答案．

解答 （1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠MDF=90°，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△AEM和△DFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MDF}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\\{∠AME=∠DMF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△DFM（ASA）；              
②∵△AEM≌△DFM，
∴EM=FM，
又∵MG⊥EF，
∴EG=FG，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：当点G与点C重合时，
∵∠A=∠EMC=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠CMD=∠CMD+∠DCM，
∴∠AME=∠DCM，
∴△AEM∽△DMC，
∴$\frac{AE}{AM}=\frac{DM}{CD}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{8-x}{6}$，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴当x=2或6时，点G与点C重合；

（3）解：过G作GN⊥AD于N，如图3所示：
∴∠A=∠GNM=90°，GN=CD=6，
∴∠AME+∠NMG=∠NMG+∠NGM=90°，
∴∠AME=∠MGN，
∴△AEM∽△NMG，
∴$\frac{AE}{MN}$=$\frac{EM}{GM}$=$\frac{AM}{GN}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2AE=4，
由勾股定理得：EM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴GM=2EM=2$\sqrt{13}$，
∵AB∥CD，
∴△DMF∽△NGM，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{MF}{EM}$=$\frac{8-3}{3}=\frac{MF}{\sqrt{13}}$，
解得：MF=$\frac{{5\sqrt{13}}}{3}$，
∴EF=EM+MF=$\frac{8\sqrt{13}}{3}$，
∴△EFG的面积=$\frac{1}{2}$EF•GM=$\frac{1}{2}×\frac{{8\sqrt{13}}}{3}×2\sqrt{13}=\frac{104}{3}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理以及三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．