Question

17．如图，抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+bx+c经过原点和点A（6，0），与其对称轴交于点B，P是抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+bx+c上一动点，且在x轴上方．过点P作x轴的垂线交动抛物线y=-$\frac{4}{9}$（x-h）²（h为常数）于点Q，过点Q作PQ的垂线交动抛物线y=-$\frac{4}{9}$（x-h）²于点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+bx+c的函数关系式及点B的坐标；
（2）当h=0时．
①求证：$\frac{PQ}{QQ′}$=$\frac{4}{3}$；
②设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l，求l与m之间的函数关系式；
（3）当h≠0时，是否存在点P，使四边形OAQQ′为菱形？若存在，请直接写出h的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把（0，0）和点A（6，0）代入y=-$\frac{4}{9}$x²+bx+c即可解决问题；
（2）①用m的代数式表示PQ、QQ′，即可解决问题；
②分0＜m≤3或3＜m＜6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决；
（3）当四边形OQ′₁Q₁A是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+bx+c过（0，0）和点A（6，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}-16+6b+c=0\\ c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=8\\ c=0\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+bx+c的函数关系式为：y=-$\frac{4}{9}$x²+8x，
∴y=-$\frac{4}{9}$（x-3）²+4，
∴点B的坐标为（3，4）；
（2）①证明：∵h=0时，抛物线为y=-$\frac{4}{9}$x²，
设P（m，-$\frac{4}{9}$m²+$\frac{8}{3}$m），Q（m，-$\frac{4}{9}$m²），
∴PQ=$\frac{8}{3}$m，QQ′=2m，
∴$\frac{PQ}{QQ′}$=$\frac{\frac{8}{3}m}{2m}$=$\frac{4}{3}$；
②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，
∵$\frac{PQ}{QQ′}$=$\frac{BM}{OM}$，∠PQQ′=∠BMO=90°，
∴△PQQ′∽△BMO，
∴∠QPQ′=∠OBM，
∵EF∥BM，
∴∠OEF=∠OBM，
∴∠OEF=∠QPQ′，
∴OE∥PQ′，
∵$\frac{EF}{BM}$=$\frac{OF}{OM}$，
∴EF=$\frac{4}{3}$，OE=$\frac{5}{3}$，
∴l=OF+EF+OE=m+$\frac{4}{3}$+$\frac{5}{3}$m=4m，
当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．
∵AF=6-m，tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{4}{3}$，
∴EF=$\frac{4}{3}$（6-m），AE=$\frac{5}{3}$，
∵tan∠PGF=$\frac{PF}{FG}$=$\frac{4}{3}$，PF=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{3}$x，
∴GF=-$\frac{1}{3}$m²+2m，
∴AG=-$\frac{1}{3}$m²+m+6，
∴GM=AM=-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{1}{2}$m+3，
∵HG=HA=$\frac{AM}{cos∠HAG}$=-$\frac{5}{18}$m²+$\frac{5}{6}$m+5，
∴l=GH+EH+EF+FG=-$\frac{8}{9}$m²+4m+8．
综上所述l=$\left\{\begin{array}{l}{4m（0＜m≤3）}\\{-\frac{8}{9}{m}^{2}+4m+8（3＜m＜6）}\end{array}\right.$，
（3）如图3中，存在，
当四边形OQ′₁Q₁A是菱形时，OQ′₁=OA=Q₁=Q′₁=6，
当顶点在原点时，Q₁点横坐标为3，将x=3代入
y=-$\frac{4}{9}$x²，得 y=4，由于是平移，Q点纵坐标不变，
∴点Q₁的纵坐标为4，
在RT△OHQ′₁，中，OH=4，OQ′₁=6，
∴HQ′₁=2$\sqrt{5}$，
∴h=3-2$\sqrt{5}$或3+2$\sqrt{5}$，
综上所述h=3-2$\sqrt{5}$或3+2$\sqrt{5}$时，四边形OAQQ′为菱形．

点评 本题考查二次函数的综合题、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图象解决问题，属于中考压轴题．