Question

7．已知抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+a（a≠0）的顶点为M，与y轴交于点A，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）用a表示点A，M，N的坐标．
（2）若将△ANC沿着y轴翻折，点N对称点Q恰好落在抛物线上，AQ与抛物线的对称轴交于点P，连结CP，求a的值及△PQC的面积．
（3）当a=4$\sqrt{3}$时，抛物线如图2所示，设D为抛物线第二象限上一点，E为x轴上的点，且∠OED=120°，DE=8，F为OE的中点，连结DF，将直线BC沿着x轴向左平移，记平移的过程中的直线为B′C′，直线B′C′交x轴与点K，交DF于H点，当△KEH为等腰三角形时，求平移后B的对应点K的坐标．

Answer 1

分析 （1）用抛物线的顶点公式确定顶点坐标，联立方程组求交点坐标；
（2）根据对折确定出a求出点A，C，N的坐标，从而求出三角形的面积；
（3）求出直线BC解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4$\sqrt{3}$，直线DF的解析式为y=-$\sqrt{3}$x-8$\sqrt{3}$，从而求出线段KE中点H横坐标为-3，建立方程求解．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x+6）²+a+4$\sqrt{3}$，
∴顶点M（-6，a+4$\sqrt{3}$）
令x=0，得：y=a，
∴A（0，a），
∴直线AM解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+a，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+a}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-a}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}a}\\{y=-\frac{1}{3}a}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a）
（2）由（1）知，Q（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
∴-$\frac{1}{3}$a=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$×（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）+a，
∴a=9$\sqrt{3}$，或a=0（舍），
∴A（0，9$\sqrt{3}$），C（0，-9$\sqrt{3}$），N（-6，13$\sqrt{3}$），
∴x_Q=-18，x_P=-6，AC=18$\sqrt{3}$，
∴S_△PQC=S_△AQC-S_△APC=$\frac{1}{2}$AC×|x_Q|-$\frac{1}{2}$AC×|x_P|=$\frac{1}{2}$×18$\sqrt{3}$（18-6）=108$\sqrt{3}$．
（3）如图，

当a=4$\sqrt{3}$时，抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$，
直线BC解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4$\sqrt{3}$，
设点K的坐标为（m，0），（m＜12）
∴直线BC平移后的直线B'C'的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-m）①，
作DG⊥x轴，
∴∠DEG=60°，
∴DG=DEsin60=4$\sqrt{3}$，EG=DEcos60°=4，
∵y=4$\sqrt{3}$，
∴4$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴x=-12，或x=0（舍）
∴D（-12，4$\sqrt{3}$），
∴OG=12，
∴OE=OG-EG=8，
∴E（-8，0），
∵F（-4，0），
∴直线DF的解析式为y=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$②，
联立①②得，x=$\frac{2}{5}$（m-6），y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4），
∴H（$\frac{2}{5}$（m-6），-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）），
∵E（-8，0），K（m，0），
∴EK²=（m+8）²，EH²=[（$\frac{2}{5}$（m-6）+8]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，HK²=[$\frac{2}{5}$（m-6）-m]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，
∵△KEH为等腰三角形，
①当EH=KH时，∴EH²=KH²，
∴[（$\frac{2}{5}$（m-6）+8]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²=[$\frac{2}{5}$（m-6）-m]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，
∴m=-8（舍）或m=16（舍）
②当EH=EK时，∴EH²=EK²，
∴（m+8）²=[（$\frac{2}{5}$（m-6）+8]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²
∴m=-4（舍）或m=-$\frac{32}{3}$，
∴K（-$\frac{32}{3}$，0），
③当KH=EK时，∴KH²=EK²，
（m+8）²=[$\frac{2}{5}$（m-6）-m]²+[-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（m+4）]²，
∴m=$\frac{-152+40\sqrt{3}}{13}$或m=$\frac{-152-40\sqrt{3}}{13}$
∴K（$\frac{-152+40\sqrt{3}}{13}$，0）或（$\frac{-152-40\sqrt{3}}{13}$，0）
∴满足条件的K的坐标为（-$\frac{32}{3}$，0）或（$\frac{-152+40\sqrt{3}}{13}$，0）或（$\frac{-152-40\sqrt{3}}{13}$，0）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了图象的交点坐标的确定，锐角三角函数的意义，三角形面积的求法，解本题的关键是交点坐标的确定．