如图.直线y=$\frac{4}{3}$x+4交于x轴于点A.交y轴于点C.过A.C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1.0)．(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标,(2)在抛物线上是否存在点P.使△BPC的内心在y轴上.若存在.求出点P的坐标.若不存在写出理由,(3)直线y=kx-6与y轴交于点N.与直线AC的交点为M.当△MNC与△AOC相似时.求点M坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，直线y=$\frac{4}{3}$x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式及顶点Q的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△BPC的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在写出理由；
（3）直线y=kx-6与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M坐标．

分析（1）先求得点A和点C的坐标，设抛物线F₁的解析式为：y=a（x+3）（x-1），把C（0，4）代入可求得a的值；
（2）取点B关于y轴的对称点B′（-1，0），连接CB′，则∠BCO=∠B′CO，设直线B′C的解析式为y=kx+b，将点B′和点C的坐标代入可求得直线B′C的解析式，将y=4x+4与y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4可求得点P的坐标；
（3）当∠CMN=90°时，直线MN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-6，将y=$\frac{4}{3}$x+4与y=-$\frac{3}{4}$x-6联立可求得M的坐标；当∠CNM为直角时，MN∥x轴，将y=-6代入y=$\frac{4}{3}$x+4可求得点M的横坐标．

解答解：（1）令y=0代入y=$\frac{4}{3}$x+4，解得：x=-3，
∴A（-3，0）．
令x=0，代入y=$\frac{4}{3}$x+4，得y=4，
∴C（0，4）．
设抛物线F₁的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
把C（0，4）代入上式得，a=-$\frac{4}{3}$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4．
∴y=-$\frac{4}{3}$（x²+2x+1）+$\frac{20}{3}$，
∴Q（-1，$\frac{20}{3}$）．
（2）∵点B的坐标为（1，0），取点B关于y轴的对称点B′（-1，0），连接CB′，则∠BCO=∠B′CO，
∴△BPC的内心在y轴上．
设直线B′C的解析式为y=kx+b，将点B′和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=4，b=4．
∴直线B′C的解析式为y=4x+4，
将y=4x+4与y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=4x+4}\\{y=-\frac{4}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴点P的坐标为（-5，-16）；
（3）N（0，-6），直线AC的表达式为y=$\frac{4}{3}$x+4．
当△MNC∽△AOC时，∠CMN=90°．
∴直线MN的一次项系数为-$\frac{3}{4}$．
∴MN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-6．
将y=$\frac{4}{3}$x+4与y=-$\frac{3}{4}$x-6联立，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24}{5}}\\{y=-\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（-$\frac{24}{5}$，-$\frac{14}{5}$）．
②当∠CNM为直角时，MN∥x轴，
将y=-6代入y=$\frac{4}{3}$x+4得：$\frac{4}{3}$x+4=-6，解得：x=-$\frac{15}{2}$．
∴M（-$\frac{15}{2}$，-6）．
综上所述，点M的坐标为（-$\frac{24}{5}$，-$\frac{14}{5}$）或（-$\frac{15}{2}$，-6）．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定、三角形的内心，分类讨论是解题的关键．

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