Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC²=2AB•CE．

Answer 1

分析：（1）要证D是BC的中点，已知AB=AC，即证AD⊥BC即可，根据圆周角定理，AB是直径，所以∠ADB=90°，即可得证．
（2）欲证△BEC∽△ADC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEB=∠ADC=90°，此时，再求另一角对应相等即可．
（3）由△BEC∽△ADC可证CD•BC=AC•CE，又D是BC的中点，AB=AC，即可证BC²=2AB•CE．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD是底边BC上的高，（1分）
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；（3分）

（2）∵∠CBE与∠CAD是

DE

所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD，（5分）
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；（6分）

（3）由△BEC∽△ADC，知

CD

CE

=

AC

BC

，
即CD•BC=AC•CE，（8分）
∵D是BC的中点，
∴CD=

1

2

BC，
又∵AB=AC，
∴CD•BC=AC•CE=

1

2

BC•BC=AB•CE，
即BC²=2AB•CE．（10分）

点评：本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．