Question

24、如图，四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O，现给出如下三个条件：①AB=DC；②AC=DB；③∠OBC=∠OCB．
（1）请你再增加一个条件：

AB∥CD

，使得四边形ABCD为矩形（不添加其他字母和辅助线，只填一个即可，不必证明）；
（2）请你从①②③中选择两个条件

②③

（用序号表示，只填一种情况），使得△AOB≌△DOC，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据题目所给出的条件知：四边形ABCD的对角线相等；若使四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD必须是平行四边形，已知了AB=DC，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来添加条件；
（2）△AOB和△DOC中，已知的条件是∠AOB=∠DOC，若判定两个三角形全等，可有两种方法：
一、添加一组相等的对应角和一组相等的对应边，根据AAS或ASA判定三角形全等；
二、添加夹这组对应角的两组对应边相等，即OA=OD，OB=OC，根据SAS来判断两个三角形全等；
由已知条件可知：选用第二种方法更合适，那么应该选用的条件为②③；由③证得OB=OC，由②证得OA=OD，由此即可得证．

解答：解：（1）添加的条件为：AB∥CD；
证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．

（2）选取②③；
证明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC；
又∵AC=BD，
∴OA=OD；
△AOB和△DOC中，OB=OC，OA=OD，∠AOB=∠DOC；
∴△AOB≌△DOC．（SAS）

点评：此题主要考查的是矩形及全等三角形的判定的方法；需注意的是：AAA和AAS不能作为判定三角形全等的依据．