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精英家教网已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=
5
.下列结论:
①△APD≌△AEB;
②点B到直线AE的距离为
2

③EB⊥ED;
④S△APD+S△APB=1+
6

⑤S正方形ABCD=4+
6
.其中正确结论的序号是(  )
A、①③④B、①②⑤
C、③④⑤D、①③⑤
分析:①利用同角的余角相等,易得∠EAB=∠PAD,再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等;③利用①中的全等,可得∠APD=∠AEB,结合三角形的外角的性质,易得∠BEP=90°,即可证;②过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求BE,结合△AEP是等腰直角三角形,可证△BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF;⑤在Rt△ABF中,利用勾股定理可求AB2,即是正方形的面积;④连接BD,求出△ABD的面积,然后减去△BDP的面积即可.
解答:解:①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∴△APD≌△AEB(故①正确);
③∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED(故③正确);
②过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,精英家教网
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE=
BP2-PE2
=
5-2
=
3

∴BF=EF=
6
2
(故②不正确);
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,
∵AE=AP=1,
∴EP=
2

又∵PB=
5

∴BE=
3

∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
3

∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=
1
2
S正方形ABCD-
1
2
×DP×BE=
1
2
×(4+
6
)-
1
2
×
3
×
3
=
1
2
+
6
2
.(故④不正确).
⑤∵EF=BF=
6
2
,AE=1,
∴在Rt△ABF中,AB2=(AE+EF)2+BF2=4+
6

∴S正方形ABCD=AB2=4+
6
(故⑤正确);
故选:D.
点评:本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识.
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12
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,则
 
=AE.

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74
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