Question

9．如图1，⊙O的直径BC的长为6，AB与⊙O相切于点B．点D是半圆上一动点．
（1）当∠A+2∠C=180°时，请你判断点D是否是直线AD与⊙O的唯一交点，说明理由．
（2）如图2，DE⊥AD，交BC于点E．若tan∠CAB=$\frac{3}{2}$，EB=2CE．求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明AD与⊙O相切，即可得出结论；
（2）连接AE、BD、DC，根据题意求得BE=4，CE=2，AE=4$\sqrt{2}$，根据圆周角定理求得∠BDC=90°，进而求得∠ABD=∠CDE，然后证得△DCE∽△DAB，得出$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，得出AD=2DE，然后根据勾股定理即可求得．

解答 解：（1）点D是直线AD与⊙O的唯一交点．
理由如下：
如图1，连接OD，
∵∠DOB=2∠C，∠A+2∠C=180°，
∴∠A+∠BOD=180°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠B=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AD与⊙O相切，
∴点D是直线AD与⊙O的唯一交点；

（2）如图2，连接AE、BD、DC，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠B=90°，
∵tan∠CAB=$\frac{3}{2}$，BC=6，
∴AB=4，
∵EB=2CE，
∴BE=4，CE=2，
∴AE=4$\sqrt{2}$，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ABD=∠CDE，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠DCE+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠DCE，
∴△DCE∽△DAB，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2DE，
在RT△ADE中，AE²=AD²+DE²，
∴（4$\sqrt{2}$）²=（2DE）²+DE²，
∴DE=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∴AD=2DE=$\frac{8}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，（2）证得三角形相似是解题的关键．