【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的长及⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)BD=12,⊙O的半径为
【解析】(1)如图1,作直径BE,半径OC,证明四边形ABDC是平行四边形,得∠A=∠D,由等腰三角形的性质得:∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,可得∠EBD=90°,所以BD是⊙O的切线;
(2)如图2,根据三角函数设EC=3x,EB=5x,则BC=4x根据AB=BC=10=4x,得x的值,求得⊙O的半径为,作高线CG,根据等腰三角形三线合一得BG=DG,根据三角函数可得结论.
(1)如图1,作直径BE,交⊙O于E,连接EC、OC,
则∠BCE=90°,
∴∠OCE+∠OCB=90°,
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABDC是平行四边形,
∴∠A=∠D,
∵OE=OC,
∴∠E=∠OCE,
∵BC=CD,
∴∠CBD=∠D,
∵∠A=∠E,
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC+∠CBD=90°,
即∠EBD=90°,
∴BD是⊙O的切线;
(2)如图2,∵cos∠BAC=cos∠E=,
设EC=3x,EB=5x,则BC=4x,
∵AB=BC=10=4x,
x=,
∴EB=5x=,
∴⊙O的半径为,
过C作CG⊥BD于G,
∵BC=CD=10,
∴BG=DG,
Rt△CGD中,cos∠D=cos∠BAC=,
∴,
∴DG=6,
∴BD=12.
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【题目】如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=DC,点F在AD上,AB=FC,BF的延长线交AC于点E.
(1)求证:△ABD≌△CFD.
(2)求证:CF⊥AB.
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【题目】小华与爸爸用一个如图所示的五等分、可以自由转动的转盘来玩游戏;将转盘随机转一次,指针指向的数字如果是奇数.爸爸获胜,如果是偶数,则小华获胜(指针指到线上则重转)
(1)转完转盘后指针指向数字2的概率是多少?
(2)这个游戏公平吗?请你说明理由.
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【题目】已知:如图,等边△ABC中,D、E分别在BC、AC边上运动,且始终保持BD=CE,点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合.连接AD、BE,AD、BE交于点F.
(1)写出在运动过程中始终全等的三角形,井选择其中一组证明;
(2)运动过程中,∠BFD的度数是否会改变?如果改变,请说明理由;如果不变,求出∠BFD的度数,再说明理由.
(3)直接写出运动过程中,AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系.
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【题目】探索题:
(x-1)(x+1)=x-1
(x-1)(x+x+1)=x-1
(x-1)(x+x+x+1)=x-1
(x-1)(x+ x+x+x+1)=x-1
(1)观察以上各式并猜想:
①(x-1)(x+x+x+ x+x+x+1)= ;
②(x-1)(x+x+x+… x+x+x+1)= ;
(2)请利用上面的结论计算:
①(-2)+(-2)+(-2)+…+(-2)+1
②若 x+x+…+x+x+x+1=0,求 x的值.
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【题目】阅读下列文字,对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积,可以得到一个数学等式,例如:由图1可以得到,请解答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式 ;
(2)利用(1)中所得到的结论,解决问题:已知,,求的值.
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【题目】一辆出租车司机某天在东西方向的公路上营运,往东行驶的路程记作正数,往西行驶的路程记作负数.全天行程的记录如下:30,-28,-13,15,27,-30,45,-27;(单位:千米)
(1)当小张将最后一位乘客送到目的地时,距出发地点的距离为多少千米?
(2)若每千米的营业额为7元,则小张这天的总营业额为多少元?
(3)在(2)的情况下,如果营运成本为每千米2元,那么这天盈利多少元?
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