Question

3．已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．

（1）问题发现
如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为BD=AE，BD、AB、CB之间的数量关系为BD+AB=$\sqrt{2}$CB．
（2）拓展探究
当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）解决问题
当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2时，CB=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可．
（2）过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD=$\sqrt{2}$BH=2，求出BH，再用勾股定理即可．

解答 解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠ACB，∠BCD=90°-∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，
∴∠BAC+∠D=180°，
∵∠CE+∠BAC=180°，
∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB，
∴BE=AE+AB=DB+AB，
∴BD+AB=$\sqrt{2}$CB；
故答案为：BD=AE，BD+AB=$\sqrt{2}$CB；

（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB，
∴BE=AE-AB=DB-AB，
∴BD-AB=$\sqrt{2}$CB；
（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，
∠BCD=90°-∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB，
∴BE=AB-AE=AB-DB，
∴AB-DB=$\sqrt{2}$CB；
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠BEC=∠CBE=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBH=45°
过点D作DH⊥BC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$BH=2，
∴BH=DH=$\sqrt{2}$，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH=$\sqrt{2}$，
∴CH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$，
∴BC=CH-BH=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．解本题的关键是作出辅助线．