Question

如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．
（1）求OD的长；
（2）求CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的性质

专题：几何图形问题

分析：（1）设⊙O的半径为R，根据切线定理得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R²+12²=（R+8）²，解得R=5，即OD的长为5；
（2）根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可计算出CE=

60

13

，所以CD=2CE=

120

13

．

解答：解：（1）设⊙O的半径为R，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，
∵OB²+AB²=OA²，
∴R²+12²=（R+8）²，
解得R=5，
∴OD的长为5；

（2）∵CD⊥OB，
∴DE=CE，
而OB⊥AB，
∴CE∥AB，
∴△OEC∽△OBA，
∴

CE

AB

=

OC

OA

，
即

CE

12

=

5

5+8

，
∴CE=

60

13

，
∴CD=2CE=

120

13

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质．