Question

【题目】（1）操作发现：如图①，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，则AE与BD有怎样的数量关系？说明理由．

（2）类比猜想：如图②，若点D是等边△ABC的边BA延长线上一动点，连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，请直接写出AE与BD满足的数量关系，不必说明理由；

（3）深入探究：如图③，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边分别在CD上方、下方作等边△CDE和等边△CDF，连接AE，BF则AE，BF与AB有怎样的数量关系？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE＝BD；（2）AE＝BD；（3）AE+BF＝AB．

【解析】

(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACE;然后由全等三角形的对应边相等知AE=BD

(2)通过证明△BCD≌△ACE,即可证明AE=BD;

(3)1.AF+BF=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACE(SAS)的对应边BD＝AE;同理△BCF≌△DCA (SAS),则BF＝AD,所以AE+BF =AB

解：（1）AE＝BD，理由如下：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD；

（2）AE＝BD．

理由如下：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD；

（3）AE+BF＝AB．

证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD＝AE，

同理可证，△BCF≌△DCA（SAS），

∴BF＝AD，

∴AB＝AD+BD＝AE+BF．