【题目】在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O(0,0),A(﹣x,0),C(0,y),且x、y满足.
(1)矩形的顶点B的坐标是 .
(2)若D是AB中点,沿DO折叠矩形OABC,使A点落在点E处,折痕为DO,连BE并延长BE交y轴于Q点.
①求证:四边形DBOQ是平行四边形.
②求△OEQ面积.
(3)如图2,在(2)的条件下,若R在线段AB上,AR=4,P是AB左侧一动点,且∠RPA=135°,求QP的最大值是多少?
【答案】(1)点B(﹣4,6);(2)①见解析;②S△EOQ=;(3)PQ的最大值为2
+
【解析】
(1)由题意可求x=4,y=6,即可求点B坐标;
(2)①由折叠性质可得AD=DE,∠ADO=∠ODE,由三角形外角性质可得∠ADO=∠DBE,可得OD∥BQ,即可证四边形BDOQ是平行四边形;②由题意可证△BFD∽△QCB,可得,可求
,,由S△EOQ=SBDOQ-S△DEO-S△BDE可得△OEQ面积;
(3)连接RO,以RO为直径作圆H,作HF⊥OQ于点F,由题意可得点A,点P,点R,点O四点共圆,即点P在以点H为圆心,RO为直径的圆上,则点P,点H,点Q三点共线时,PQ值最大,由勾股定理可求,即可求QP的最大值.
解:(1)∵x﹣4≥0,4﹣x≥0
∴x=4,
∴y=6
∴点A(﹣4,0),点C(0,6)
∴点B(﹣4,6)
故答案为(﹣4,6)
(2)①∵D是AB中点,
∴AD=BD
∵折叠
∴AD=DE,∠ADO=∠ODE
∴∠DBE=∠DEB
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB
∴∠ADO+∠ODE=∠DBE+∠DEB
∴∠ADO=∠DBE
∴OD∥BQ,且AB∥OC
∴四边形BDOQ是平行四边形,
②如图,过点D作DF⊥BQ于点F,
∵AD=3,AO=4
∴DO==5
∵四边形BDOQ是平行四边形,
∴BD=OQ=3,BQ=DO=5,
∴CQ=CO﹣OQ=3
∵AB∥CO
∴∠ABQ=∠BQC,且∠BFD=∠BCQ=90°
∴△BFD∽△QCB
∴
∵DE=BD,DF⊥BQ
,
∴SBDOQ=12
∴S△EOQ=SBDOQ﹣S△DEO﹣S△BDE=
(3)如图,连接RO,以RO为直径作圆H,作HF⊥OQ于点F,
∵RA=4=AO
∴∠AOR=∠ARO=45°,RO=
∵∠APR+∠AOR=135°+45°=180°
∴点A,点P,点R,点O四点共圆
∴点P在以点H为圆心,RO为直径的圆上,
∴点P,点H,点Q三点共线时,PQ值最大,
∵∠HOF=45°,HF⊥OQ,
∴∠FHO=∠HOF=45°,且OH=
∴HF=OF=2,
∴QF=OQ﹣OF=3﹣2=1
∴HQ=
∴PQ的最大值为.
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【题目】如图,将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF,AD经过点O,且AO:OD=1:2,点F恰好落在x轴的正半轴上,若点C(﹣6,0),点D在反比例函数y=的图象上.
(1)证明:△AOF是等边三角形,并求k的值;
(2)在x轴上有一点G,且△ACG是等腰三角形,求点G的坐标;
(3)求旋转过程中四边形ABCO扫过的面积;
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【题目】“知识改变命运,科技繁荣祖国”.我市中小学每年都要举办一届科技运动会.下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛(包括空模、海模、车模、建模四个类别)的参赛人数统计图:
(1)该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和 人;
(2)该校参加航模比赛的总人数是 人,空模所在扇形的圆心角的度数是 °,并把条形统计图补充完整;(温馨提示:作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑)
(3)从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人,其中有32人获奖.今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人,请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人?
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【题目】已知数轴上有A、B、C三点,点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数,AC=36,数轴上有一动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点C移动,设移动时间为t秒.
(1)点A表示的有理数是 ,点B表示的有理数是 ,点C表示的有理数是 .
(2)当点P运动到点B时,点Q从点O出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动.
①求t为何值时,点Q第一次与点P重合?
②当点P运动到点C时,点Q的运动停止,求此时点Q一共运动了多少个单位长度,并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数.
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【题目】某中学决定在本校学生中开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动,为了了解学生对这四种活动的喜爱情况,学校随机调查了该校m名学生,看他们喜爱哪一种活动(每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种),现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图.请你根据图中的信息,解答下列问题.
(1)m= ,n= ;
(2)请补全图中的条形图;
(3)扇形统计图中,足球部分的圆心角是 度;
(4)根据抽样调查的结果,请估算全校1800名学生中,大约有多少人喜爱踢足球.
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【题目】北京市积极开展城市环境建设,其中污水治理是重点工作之一,以下是北京市2012﹣2017年污水处理率统计表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
污水处理率(%) | 83.0 | 84.6 | 86.1 | 87.9 | 90.0 | 92.0 |
(1)用折线图将2012﹣2017年北京市污水处理率表示出来,并在图中标明相应的数据;
(2)根据统计图表中提供的信息,预估2018年北京市污水处理率约为_____%,说明你的预估理由:_____.
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【题目】解决问题,一辆货车从超市出发,向东走了3千米到达小彬家,继续走2.5千米到达小颖家,然后向西走了10千米到达小明家,最后回到超市.
(1)以超市为原点,以向东的方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,在数轴上表示出小明家.
(2)小明家距小彬家多远?
(3)货车一共行驶的多少千米?
(4)货车每千米耗油0.2升,这次共耗油多少升?
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【题目】在“全民读书月”活动中,小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况,并将结果绘制成如图所示的统计图,请根据相关信息,解答下列问题:(直接填写结果)
(1)本次调查获取的样本数据的众数是 ;
(2)这次调查获取的样本数据的中位数是 ;
(3)若该校共有学生1000人,根据样本数据,估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人.
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【题目】如图,数轴上点,
表示的数
,
满足
,点
为线段
上一点(不与
,
重合),
,
两点分别从
,
同时向数轴正方向移动,点
运动速度为每秒2个单位长度,点
运动速度为每秒3个单位长度,设运动时间为
秒(
).
(1)直接写出______,
______;
(2)若点表示的数是0.
①,则
的长为______(直接写出结果);
②点,
在移动过程中,线段
,
之间是否存在某种确定的数量关系,判断并说明理由;
(3)点,
均在线段
上移动,若
,且
到线段
的中点
的距离为3,请求出符合条件的点
表示的数.
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