Question

13．已知：菱形ABCD中，∠BAD=120°，M、N分别是BC、CD边上的点，且△AMN是等边三角形．
（1）求证：BM=CN；
（2）连接BD交AM于E点、交AN于F点，若BE=1，DF=3，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据菱形的性质得到∠BAC=60°，AB=BC，得到AB=AC根据等边三角形的性质得到AM=AN，∠MAN=60°，推出∠BAM=∠CAN，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB=30°，根据旋转的性质得到DE′=BE=1，∠3=∠1，∠ABD=∠ADE′=30°求得∠E′DF=60°，推出∠E′AF=∠EAF，根据全等三角形的性质得到EF=E′F，过E′作E′G⊥DF于G，解直角三角形得到结论．

解答 （1）证明：连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM与△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴BM=CN；
（2）解：∵AB=AD，∠BAD=120°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
把△ABM绕着点A逆时针旋转120°得△ADE′，
∴DE′=BE=1，∠3=∠1，∠ABD=∠ADE′=30°，
∴∠E′DF=60°，
∵∠FAE′=∠2+∠3=∠1+∠2=60°，
∴∠E′AF=∠EAF，
在△AEF与△AE′F中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F，
∴EF=E′F，
过E′作E′G⊥DF于G，
∴DG=$\frac{1}{2}$DE′=$\frac{1}{2}$，E′G=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴E′F=$\sqrt{F{G}^{2}+E′{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴EF=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．