Question

12．几何计算题：
（1）如图，⊙O中，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，∠C=75°，求∠A的度数．
（2）⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离．
（3）三角形三边长为5cm，12cm，13cm，以这个三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则这三个圆的半径分别是多少？

Answer 1

分析 （1）根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B=∠C=75°，再利用三角形内角和定理求出即可；
（2）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，由垂径定理得AE=$\frac{1}{2}$AB=5，CF=$\frac{1}{2}$CD=12，由于AB∥CD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出OE与OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF；当圆心O在弦A′B′与CD的外部时，AB与CD的距离=OE-OF；
（3）设三个圆的半径分别为xcm，ycm，zcm，根据已知条件可得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{y+z=12}\\{z+x=13}\end{array}\right.$，解之即可得出答案．

解答 解：（1）∵⊙O中，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，∠C=75°，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°×2=30°；

（2）如图作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA=OC=13，
则AE=$\frac{1}{2}$AB=5，CF=$\frac{1}{2}$CD=12，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三点共线，
在Rt△COF中，OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=12+5=17；
当圆心O在弦A′B′与CD的外部时，AB与CD的距离=OE-OF=12-5=7．
所以AB与CD的距离是17或7；

（3）解：设三个圆的半径分别为xcm，ycm，zcm，
由于三角形三边长分别为5cm，12cm，13cm，得到这个三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，
那么容易列方程得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{y+z=12}\\{z+x=13}\end{array}\right.$，
①-②得：x-z=-7④，
③+④得2x=6，解得：x=3，
将x=3代入①得：y=2，
将y=2代入②得：z=10，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\\{z=10}\end{array}\right.$．
故三个圆的半径分别是3cm，2cm，10cm．

点评 此题主要考查了三角形的内角和定理以及圆心角、弧、弦之间的关系等知识，根据已得出∠B=∠C=75°是解决问题的关键．