Question

12．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．
（1）△ABC的面积等于9$\sqrt{3}$；
（2）则在点E运动过程中，DF的最小值是1.5．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠B=60°，由AD是△ABC的对称轴，得到AD⊥BC，求得AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD=CG，再求出∠DCF=∠GCE，根据旋转的性质可得CE=CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD=30°求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AD是△ABC的对称轴，
∴AD⊥BC，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；
故答案为：9$\sqrt{3}$；

（2）如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠DCF=∠GCE}\\{CD=CG}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，AG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴EG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$×3=1.5，
∴DF=1.5．
故答案为：1.5．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．