Question

11．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个实数根为另一个实数根的3倍，则称这样的方程为“立根方程”．
若方程ax²+bx+c=0是立根方程，且两点P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函数y=ax²+bx+c上，请求方程ax²+bx+c=0的两个根．

Answer 1

分析 因为两点P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函数y=ax²+bx+c上，所以对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{P+{p}^{2}+1-{p}^{2}+5+q}{2}$，所以-$\frac{b}{a}$=6+p+q，设方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，3x₁，则有x₁+3x₁=6+p+q，求出x₁即可解决问题．

解答 解：两点P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函数y=ax²+bx+c上，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{P+{p}^{2}+1-{p}^{2}+5+q}{2}$，
∴-$\frac{b}{a}$=6+p+q，设方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，3x₁，
则有x₁+3x₁=6+p+q，
∴x₁=$\frac{6+p+q}{4}$，3x₁=$\frac{18+3p+3q}{4}$，
∴方程ax²+bx+c=0的两个根为$\frac{6+p+q}{4}$，$\frac{18+3p+3q}{4}$．

点评 本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是灵活运用二次函数的性质以及根与系数关系，属于中考创新题目．