Question

4．已知：在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，G是线段DE上一点，连接CG并延长交直线AD于F（F不与A、D重合）．
（1）如图1，若G是DE的中点，求证：DF=2AF；
（2）如图2，若∠DGC=60°，求CF的长；
（3）如图3，若以E、F、G为顶点的三角形与△CDG相似，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长BA、CF交于点M，先证明△EGM≌△DGC，推出CD=2AM，再利用AM∥CD，得$\frac{AM}{CD}$=$\frac{AF}{DF}$，即可解决问题．
（2）如图2中，作CN⊥DE于N，延长DE、CB交于点M，△AED≌△BEM，求出DM，再在△CDG中，解三角形求出DG、CG，根据DF∥CM，得$\frac{FG}{GC}$=$\frac{DG}{GM}$，求出FG即可解决问题．
（3）如图3中，连接EC，首先证明E、F、D、C四点共圆，再证明△AEF∽△BCE，得$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{BE}$，求出AF、DF，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，延长BA、CF交于点M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠M=∠GCD，
在△EGM和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠GCD}\\{∠EGM=∠DGC}\\{EG=DG}\end{array}\right.$，
∴△EGM≌△DGC，
∴EM=CD=AB，
∵AE=EB，
∴AM=AE=EB，CD=2AM
∵AM∥CD，
∴$\frac{AM}{CD}$=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=2AF．

（2）解：如图2中，作CN⊥DE于N，延长DE、CB交于点M．

∵AD∥BM，
∴∠ADE=∠BME，
∵AE=EB，∠AEB=∠MEB，
∴△AED≌△BEM，
∴EM=DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠CDN+∠ADE=90°，∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠CDN，∵∠EAD=∠CND=90°，
∴△CDN∽△DEA，
∴$\frac{DN}{AE}$=$\frac{CN}{AD}$，
∴$\frac{DN}{CN}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，设DN=a，则CN=2a，
∴a²+（2a）²=4，
∵a＞0，
∴a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵∠CGN=60°，
∴NG=$\frac{4\sqrt{15}}{15}$，CG=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，
∵DF∥CM，
∴$\frac{FG}{GC}$=$\frac{DG}{GM}$，
∴$\frac{FG}{\frac{8}{15}\sqrt{15}}$=$\frac{\frac{4}{15}\sqrt{15}+\frac{2}{5}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-\frac{4}{5}\sqrt{15}-\frac{2}{5}\sqrt{5}}$，
∴FG=$\frac{28\sqrt{5}+16\sqrt{15}}{15}$，
∴CF=FG+CG=$\frac{28\sqrt{5}+16\sqrt{15}}{15}$+$\frac{8}{15}\sqrt{15}$=$\frac{28\sqrt{5}+24\sqrt{15}}{15}$．

（3）j解：如图3中，连接EC．

∵以E、F、G为顶点的三角形与△CDG相似，又∵F不与A、D重合，
∴只有∠EFG=∠GDC，
∴E、F、D、C四点共圆，
∴∠FEC+∠CDF=180°，∵∠FDC=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，
∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{BE}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{BC}{BE}$，∵AE=EB=1，BC=2，
∴$\frac{1}{AF}$=2，
∴AF=$\frac{1}{2}$．DF=AD-AF=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CDF中，∵∠CDF=90°，
∴CF=$\sqrt{D{F}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．