Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=2DC，P在AD上，∠BAC=∠BPD，求证：∠BPD=2∠CPD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长PD到E使PE=PB，连接BE，作AH⊥BC于H，PF⊥BE于F，CI⊥DE于I，连接HI并延长交CE于G，如图，根据等腰三角形的性质由∠BAC=∠BPE得到∠ACB=∠AEB，则根据三角形相似的判定可判断△ADC∽△BDE，则

AD

CD

=

BD

DE

，再证明△AHD∽△CID，得到

AD

CD

=

HD

DI

，则

BD

DE

=

HD

DI

，则根据平行线分线段成比例定理的逆定理得HI∥BE，由于BH=CH，则GC=EG，于是根据直角三角形斜边上的中线性质得GI=EG=CG，所以∠GEI=∠GIE，加上由HI∥BE得到∠GIE=∠BEI，
所以∠BEI=∠GEI，即ED是∠BEC的平分线，然后根据角平分线定理得到

CE

BE

=

CD

BD

=

1

2

，即CE=

1

2

BE，而根据等腰三角形的性质由PF⊥EB，BP=PE得到EF=BF，∠BPF=∠EPF，所以EF=CE，则可根据“SAS”判断△PFE≌△PCE，得到∠EPF=∠CPE，于是有∠BPD=2∠BPD．

解答：证明：延长PD到E使PE=PB，连接BE，作AH⊥BC于H，PF⊥BE于F，CI⊥DE于I，连接HI并延长交CE于G，如图，
∵∠BAC=∠BPE，AB=AC，PB=PE，
∴∠ACB=∠AEB，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴

AD

CD

=

BD

DE

，
∵AH⊥BC，CI⊥AE，
∴∠AHD=∠CID，
又∵∠ADH=∠CDI，
∴△AHD∽△CID，
∴

AD

CD

=

HD

DI

，
∴

BD

DE

=

HD

DI

，
∴HI∥BE，
∵BH=CH，
∴GC=EG，
∵CI⊥EI，
∴IG为Rt△CIE斜边上的中线，
∴GI=EG=CG，
∴∠GEI=∠GIE，
∵HI∥BE，
∴∠GIE=∠BEI，
∴∠BEI=∠GEI，
∴ED是∠BEC的平分线，
∴

CE

BE

=

CD

BD

=

1

2

，即CE=

1

2

BE，
∵PF⊥EB，BP=PE，
∴EF=BF，∠BPF=∠EPF，
∴EF=CE，
在△PEF和△PEC中，

PE=PE ∠PEF=∠PEC EF=EC

，
∴△PFE≌△PCE（SAS），
∴∠EPF=∠CPE，
∴∠BPD=2∠BPD．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．也考查了等腰三角形的性质、角平分线定理、平行线分线段成比例定理的逆定理和全等三角形的判定与性质．