Question

如图1，已知正方形OABC的边长为4，等腰直角三角板OEF的直角边OE、OF分别在OA、OC上，且OE=2．将三角板OEF绕点O逆时针旋转至OE₁F₁的位置，旋转角为α，连接CF₁、AE₁．
（1）请在图2中画出三夹板OEF逆时针旋转90°时的图形，并直接判断此时△OAE₁与△OCF₁是否全等．
（2）当0°＜α＜90°时，∠OAE₁与∠OCF₁是否总有上述关系并加以证明；
（3）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE₁∥CF₁？若存在，请求出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据旋转的性质，延长EO至F₁，使OF₁=OF，又旋转后点E₁与点F重合，所以，连接CF₁、AF即可得解，两三角形可以利用“边角边”证明全等；
（2）根据正方形的性质可得OA=OC，根据旋转的性质可得△OEF≌△OE₁F₁，再根据全等三角形对应边相等可得OE₁=OF₁，再根据同角的余角相等可得∠AOE₁=∠COF₁，然后利用“边角边”证明即可；
（3）分①点F₁在OC左边时，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠OF₁C=90°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠OCF₁=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠COF₁=60°，即可得解；②点F₁在OC右边时，求解方法同①．
解答：解：（1）如图，△OAE₁≌△OCF₁；

（2）△OAE₁≌△OCF₁总成立，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，
由旋转性质得，△OEF≌△OE₁F₁，
∵OE=OF，
∴OE₁=OF₁，
又∵∠AOE₁+∠COE₁=90°，
∠COF₁+∠COE₁=90°，
∴∠AOE₁=∠COF₁，
在△OAE₁≌△OCF₁中，
，
∴△OAE₁≌△OCF₁（SAS）；

（3）存在当α=60°或α=300°时，OE₁∥CF₁．
如图①，∵△OE₁F₁为等腰直角三角形，
∴∠E₁OF₁=90°，OE₁=OF₁=2，
∵OE₁∥CF₁，
∴∠OF₁C=90°，
∴△OCF₁为Rt△，
∵OF₁=2，OC=4，
∴∠OCF₁=30°，
∴∠COF₁=60°，
当α=60°时，OE₁∥CF₁，
如图②，α=300°时方法同（1）．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，综合性较强，难度较大，作出图形更形象直观．