Question

20．如图，含有30°角的直角三角板EFG的直角顶点放在宽为2cm的直尺ABCD的BC边上，并且三角板的直角边EF始终经过点A，直角边EG与AD交于点H；∠G=30°
（1）当∠1=36°时，求∠2的度数；
（2）当点E到点B的距离为1cm时，求点H到点A的距离．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质求出∠3的度数，根据平角的定义求出∠4，根据平行线的性质得出即可；
（2）过H作HM⊥BC于M，证△ABE∽△EMH，求出EM，即可求出答案．

解答 解：（1）如图所示：

∵AD∥BC，
∴∠2=∠4，
∵∠B=∠FEG=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠1=36°，
∴∠3=54°，
∴∠4=90°-54°=36°，
∴∠2=∠4=36°；

（2）过H作HM⊥BC于M，
则∠HME=∠B=90°，AB=HM=2cm，
∵∠B=∠FEG=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠4，
∵∠B=∠HME，
∴△ABE∽△EMH，
∴$\frac{AB}{EM}$=$\frac{BE}{HM}$，
∴$\frac{2}{EM}$=$\frac{1}{2}$，
解得：EM=4，
∴AH=BM=BE+EM=1+4=5（cm），
即点H到点A的距离是5cm．

点评 本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，平行线的性质的应用，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解此题的关键．