Question

如图所示，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）如图1示，猜想AB与BC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，连接AF，请判断△BAF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）猜想AB=BC，根据平行线的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余可求出∠AED=45°，连接AC，根据等腰直角三角形的判定方法进行证明即可；
（2）若F为线段CD上一点，∠FBC=30°，则△BAF的形状是等边三角形，作FG⊥BC于G，由∠DCB=75°，∠CBF=30°，推出∠DCB=∠BFC，得到BC=BF，由（1）可知AB=BC，所以AB=BF，由已知条件可求出∠AFB=60°，所以有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
解答：解：（1）猜想AB=BC，理由如下：
∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
又∵等边△DCE中，∠CDE=60°，
∴∠ADE=45°．
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAB=90°，
∴∠AED=45°，
∵直角△AED中，∠AED=45°，即△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．
∵△DCE是等边三角形得CD=CE，
∴点C也在线段DE的垂直平分线上．
∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．
连接AC，
∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又AB⊥BC，
∴BA=BC；
（2）△BAF的形状是等边三角形，
理由如下：
作FG⊥BC于G，
∵∠DCB=75°，∠CBF=30°，
∴∠BFC=75°，
∴∠DCB=∠BFC，
∴BC=BF，
∵AB=BC，
∴AB=BF，
∵∠CBF=30°，
∴∠ABF=90°-30°=60°，
∴△BAF的形状是等边三角形．
点评：本题主要考查对直角梯形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．