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    E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①
    （1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）
    AQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系
    图①中
    图②中
    由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
    （2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？
    （3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）

    【答案】分析：（1）用刻度尺量得AQ、BQ的长度如下表；
    （2）经观察发现QB，AB都与DP相关，通过证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB，AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
    （3）同（2）证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB、AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB．
    解答：解：（1）
    AQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系
    图①中2.70.9AQ=3BQ
    图②中3.31.1AQ=3BQ
    注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分
    猜想：AQ=3QB；

    （2）成立
    ∵四边形ABCD为平行四边形，
    ∴DC∥AB
    ∴△PDF∽△QBF，
    ∴，
    ∵E F为BD三等分点
    ∴，
    同理，
    ∴=4，
    ∴=3，
    即AQ=3BQ；

    （3）成立．
    点评：本题综合考查了平行四边形，梯形的性质，同时考查了等分点在相似三角形求相似比中的应用．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    平面直角坐标系中，A（0，6），C（21，0），AB∥OC，AB=15，动点P由O沿OA、AB向B以2单位长/s的速度运动，动点Q由C开始沿CO边向O以1单位/s的速度运动，当其中一动点到达端点时，另一动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
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    （1）填空：当t=
     
    s时，四边形PBCQ为平行四边形；
    （2）四边形PBCQ为直角梯形时，求P点的坐标．
    （3）四边形PBCQ能为等腰梯形吗？若能，求出点P的坐标．若不能，说明理由．
    （4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并注明t的范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    13、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤：
    ①先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图Ⅰ），使AB=CD，EF=GH；
    ②摆放成如图Ⅱ的四边形，则这时窗框的形状是
    平行四边形
    形，根据的数学原理是
    两对边分别相等的四边形为平行四边形
    ．
    ③将直角尺靠窗框的一个角如图Ⅲ，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗杠无缝隙时如图Ⅳ，说明窗框合格，这时窗框是
    矩
    形，根据的数学原理是：
    一个角为直角的平行四边形为矩形
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    7、如图，在□ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
    精英家教网（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
    （2）求BF的长；
    （3）求折痕AF长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    课题学习：
    （1）如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是
    正方
    正方
    形，正方形ABCD的面积记为S1，EFGH的面积为S2，则S1和S2间的数量关系：
    S1=2S2
    S1=2S2
    ；
    （2）如图2，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是
    矩
    矩
    形，菱形ABCD的面积为S1，EFGH的面积为S2，则S1和S2间的数量关系：
    S1=2S2
    S1=2S2
    ；
    （3）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，E、F、G、H分别为各边的中点．四边形EFGH是
    矩
    矩
    形；若梯形ABCD的面积记为S1，四边形EFGH的面积记为S2，由图可猜想S1和S2间的数量关系为：
    S1=2S2
    S1=2S2
    ；
    （4）如图4，E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，H、F分别是边形AD、BC上的点，且四边形EFGH为平行四边形，若把平行四边形ABCD的面积记为S1，把平行四边形形EFGH的面积记为S2，试猜想S1和S2间的数量关系，并加以证明．

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