Question

17．如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，则tan∠AEF=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 连接OF，OC．根据全等三角形的性质得到∠OFC=∠ODC=90°，于是得到FC是⊙O的切线；根据正方形的性质得到AD=BC=AB=CD，由∠CFE=∠B=90°，得到E，F，O三点共线．根据勾股定理得到BE的长，即可得到结论．

解答 解：如图，连接OF，OC．
在△OCF和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{OC=OC}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△OCF≌△OCD（SSS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴CF是⊙O的切线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴可设AD=BC=AB=CD=2，
∵∠CFE=∠B=90°，
∴E，F，O三点共线．
∵EF=EB，
∴在△AEO中，AO=1，AE=2-BE，EO=1+BE，
∴（1+BE）²=1+（2-BE）²，
∴BE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠AEF=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的是折叠问题，正方形的性质，切线的判定以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是：根据三角形全等判定CF是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．