Question

13．如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的有①②③．

Answer 1

分析 根据垂直的定义得到∠AFC=∠AEB=90°，根据三角形的内角和得到∠B=∠C，由全等三角形的判定定理得到△ABE≌△ACF（ASA），故①选项正确，由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，于是得到△BDF≌△CDE，选项②正确，根据全等三角形的性质得到AE=AF，AC=AB，连接AD，证得Rt△AFD≌Rt△AED（HL），根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠DAE，即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确，进而得到答案．

解答 解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠AFC=∠AEB=90°，故在Rt△AEB中，∠B=90°-∠A，在Rt△AFC中∠C=90°-∠A，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠A}\\{AB=AC}\\{∠B=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
故①选项正确，
由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，
在△BDF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠CED=90°}\\{∠B=∠C}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE，选项②正确，
∵△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，AC=AB，
连接AD，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴∠DAF=∠DAE，即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确，
故答案为①②③．

点评 本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键．