Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．

（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；

（2）求L与m之间的函数关系式；

（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；

（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）L=8m+4．（3）20；（4）12≤L≤44．

【解析】

（1）求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；

（2）利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；

（3）由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；

（4）分两种情形讨论求解即可.

（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1）

把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1，

∴m=；

（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m，

∴AE=ED=2m，

∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，

∴AD=BC=4m，AB=CD=2，

∴L=8m+4；

（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，

∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，

∴m2﹣1=1，

∴m=2或﹣2（舍弃），

∴L=8×2+4=20；

（4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，

若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃），

若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃），

又∵m≤2，

观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，

②当（2，2m﹣1）是最高点时，，

解得2≤m≤5，

综上所述，1≤m≤5，

∴12≤L≤44．