Question

已知y=m²+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
（1）求a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以

2

，同时求其差再除以

2

，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008证明你的结论．

Answer 1

分析：设m²+m+4=k²（k为非负整数），则有m²+m+4-k²=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），（2k+p）（2k-p）=15，显然2k+p＞2k-p，再分别求出a、b、c的值即可．

解答：解：（1）设m²+m+4=k²（k为非负整数），则有m²+m+4-k²=0，
由m为整数知其△为完全平方数，即1-4（4-k²）=p²（p为非负整数），（2k+p）（2k-p）=15，显然2k+p＞2k-p，
所以

2k+p=15 2k-p=1

或

2k+p=5 2k-p=3

，解得p=7或p=1，
所以m=

-1+p

2

，得m₁=3，m₂=-4，m₃=0，m₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．
（2）三个数，任意两个求其和，再除以

2

，同求其差，再除以

2

，剩下的一个数不变，经过两次这样的操作就又变成原来的三个数了，即（

m+n

2

）²+（

m-n

2

）²+p²=m²+n²+p²，而3²+（-4）²+（-1）²≠2008．所以，对a、b、c进行若干次操作后，不能使所得三个数的平方和等于2008．

点评：本题考查了对完全平方数的理解，拓展应用是解此题的关键，要打破思维常规进行分析．