【题目】如图,是半径为1的的内接正十边形,平分
(1)求证:;
(2)求证:
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析
【解析】
(1)根据题意得出角相等得出△A1A2P∽△A1OA2,再根据相似三角形的性质即可得出答案;
(2)设A1A2=x,得出OP=PA2=A1A2=x,A1 P=1-x,再代入中即可求出答案.
证明:(1)∵A1A2A3…A10是半径为1的⊙O的内接正十边形,A2P平分∠OA2A1
∴∠A1OA2=36°,∠A1=∠OA2A1=72°,∠A1A2P=∠O=36°
∴∠A1 P A2=72°,OP=PA2,
∴△A1A2P∽△A1OA2,
∴A1A22=A1PO A1
(2)设A1A2=x,
则OP=PA2=A1A2=x,
∴A1 P=1-x,
由(1)得A1A22=A1PO A1
∴,
∴,
解得,(负值舍去)
∴,
即
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【题目】某市水费采用阶梯收费制度,即:每月用水不超过15吨时,每吨需缴纳水费a元,每月用水量超过15吨时,超过15吨的部分按每吨提高b元缴纳下表是嘉琪家一至四月份用水量和缴纳水费情况.根据表格提供的数据,回答:
月份 | 一 | 二 | 三 | 四 |
月用水量(吨) | 14 | 18 | 16 | 13 |
水费(元) | 42 | 60 | 50 | 39 |
(1)a= 元;b= 元;
(2)求月缴纳水费p(元)与月用水量t(吨)之间的函数关系式;
(3)若嘉琪家五月和六月的月缴水费相差24元,求这两月用水量差的最小值.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,CD≠AB,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:CFFG=DFBF;
(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=12,EF=8,求CD的长.
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【题目】综合与探究
问题情境:
(1)如图1,两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放,其中∠ACB=∠DCE=90°,点F,H,G分别是线段DE,AE,BD的中点,A,C,D和B,C,E分别共线,则FH和FG的数量关系是 ,位置关系是 .
合作探究:
(2)如图2,若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A,C,E在一条直线上,其余条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
(3)如图3,若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角,那么(1)中的结论是否还成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
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【题目】某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼两次锻炼后数据如下表,与第一次锻炼相比,王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为.注:步数平均步长距离.
项目 | 第一次锻炼 | 第二次锻炼 |
步数(步) | ①_______ | |
平均步长(米/步) | ②_______ | |
距离(米) |
(1)根据题意完成表格;
(2)求.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-4, 1),B(-1,3),C(-1,1)
(1)将△ABC以原点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△;平移△ABC,若A对应的点坐标为(-4,-5),画出△;
(2)若△绕某一点旋转可以得到△,直接写出旋转中心坐标是__________;
(3)在x轴上有一点P是的PA+PB的值最小,直接写出点P的坐标___________;
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【题目】(本题满分8分)一个不透明的口袋中装有2个红球(记为红球1、红球2)、1个白球、1个黑球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀.
(1)从中任意摸出1个球,恰好摸到红球的概率是 ;
(2)先从中任意摸出1个球,再从余下的3个球中任意摸出1个球,请用列举法(画树状图或列表)求两次都摸到红球的概率.
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【题目】(问题呈现)阿基米德折弦定理:
如图1,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,点M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中点,
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根据证明过程,分别写出下列步骤的理由:
① ,
② ,
③ ;
(理解运用)如图1,AB、BC是⊙O的两条弦,AB=4,BC=6,点M是的中点,MD⊥BC于点D,则BD= ;
(变式探究)如图3,若点M是的中点,(问题呈现)中的其他条件不变,判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系?并加以证明.
(实践应用)根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题:
如图4,BC是⊙O的直径,点A圆上一定点,点D圆上一动点,且满足∠DAC=45°,若AB=6,⊙O的半径为5,求AD长.
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【题目】如图,某校准备给长12米,宽8米的矩形室内场地进行地面装饰,现将其划分为区域Ⅰ(菱形),区域Ⅱ(4个全等的直角三角形),剩余空白部分记为区域Ⅲ;点为矩形和菱形的对称中心,,,,为了美观,要求区域Ⅱ的面积不超过矩形面积的,若设米.
甲 | 乙 | 丙 | |
单价(元/米2) |
(1)当时,求区域Ⅱ的面积.
(2)计划在区域Ⅰ,Ⅱ分别铺设甲,乙两款不同的深色瓷砖,区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖,
①在相同光照条件下,当场地内白色区域的面积越大,室内光线亮度越好.当为多少时,室内光线亮度最好,并求此时白色区域的面积.
②三种瓷砖的单价列表如下,均为正整数,若当米时,购买三款瓷砖的总费用最少,且最少费用为7200元,此时__________,
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