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3.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30°,AC⊥x轴,它的顶点A的坐标为(10,0),C(10,$\frac{20\sqrt{3}}{3}$),点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,若P点的速度为2单位/秒,设P运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.(直接写出结果)
(2)求出B点的坐标.
(3)当P在边AB上运动时,t取何值时,OP=OQ.
(4)当P沿A→B→C运动时,是否存在PO=PQ,若存在,求出此时的时间t,若不存在,请说明理由.

分析 (1)结合图形,计算即可;
(2)(2)作BH⊥OA于H,根据余弦的概念求出AB,根据直角三角形的性质求出AH、BH,确定B点的坐标;
(3)作PM⊥OA于M,根据正弦的定义用t表示出PM、OP,根据题意列出算式,计算即可;
(4)分P在AB上和P在BC上两种情况,根据等腰三角形的性质定理列出方程,解方程即可.

解答 解:(1)∵∠CAB=30°,AC⊥x轴,
∴∠BAO=90°-30°=60°;
(2)作BH⊥OA于H,
由题意得,AC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$,OA=10,
∵∠CAB=30°,
∴AB=AC•cos∠CAB=10,
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=5,BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=5$\sqrt{3}$,
则OH=OA-OH=5,
∴B点的坐标为(5,5$\sqrt{3}$);
(3)如图2,作PM⊥OA于M,
∵AP=2t,∠OAB=60°,
∴PM=AP•sin∠OAB=$\sqrt{3}$t,
∴OP=2PM=2$\sqrt{3}$t,
∵OP=OQ,
∴2t+2=2$\sqrt{3}$t,
解得,t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,
即当t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$时,OP=OQ;
(4)当P在AB上时,P点纵坐标为$\sqrt{3}$t,
∵PO=PQ,
∴$\sqrt{3}$t=$\frac{2+2t}{2}$,
解得,t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,
当P在BC上时,$\frac{2t-5}{2}$+5$\sqrt{3}$=$\frac{2+2t}{2}$,
此方程无解,
故当t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$时,OP=OQ.

点评 本题直角三角形的性质、锐角就是说的定义,掌握解直角三角形的应用、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

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(3)正整数:{12,+20…};    
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