Question

4．如图，△ABC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，AC=AD，∠CDE=45°，CD与
AE交于点F，若∠AEC=∠DEB，CE=$\frac{7\sqrt{10}}{4}$，则CF=5．

Answer 1

分析 作辅助线，构建特殊的四边形ACGH，设∠AEC=α，则∠DEB=α，
①根据SAS证明△AEC≌△DEB，得AC=CH，∠ACE=∠EGH=90°，证明四边形ACGH是矩形；
②设∠ACD=∠ADC=β，根据三角形的内角和表示∠CAD=180°-2β，根据平角∠ADB=180°列式：β+45°+∠BDE=180°，在△BDE中根据三角形的内角和列式为：α+∠BDE+∠ABC=180°，两式综合可得：∠BDE=α；
③证明四边形ACGH是正方形，得出AD=AC=4BE=4BD；
④设BE=x，则BD=x，在Rt△ACB中，由勾股定理列方程可求出x的值；
⑤过F作FM⊥BC于M，设EM=y，则FM=2y，EF=$\sqrt{5}$y，根据EF的长列方程可求出y的值；
⑥在Rt△CFM中，利用勾股定理可求CF的长．

解答 解：延长CE至G，使EC=EG，延长ED至H，使EH=AE，过D作DT∥BC，交AE于T，连接GH、AH，
设∠AEC=α，则∠DEB=α，
∵∠AEC=∠DEB=α，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=GH，∠ACE=∠EGH=90°，
∴AC∥GH，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AH∥CG，
∴∠AHE=∠HEG=α，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
设∠ACD=∠ADC=β，
∵∠CDE=45°，
∴β+45°+∠BDE=180°，
∴β=135°-∠BDE①，
∵△ACD是等腰三角形，
∴∠CAD=180°-2β，
∵△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=90°-∠CAD=90°-（180°-2β）=2β-90°，
在△BDE中，由内角和得：α+∠BDE+∠ABC=180°，
α+∠BDE+2β-90°=180°②，
把①代入②得：α+∠BDE+2（135°-∠BDE）-90°=180°，
∠BDE=α，
∴∠ADH=∠BDE=α，
∴AD=AH=AC，
∴四边形ACGH是正方形，
∴AH=AC=2CE=$\frac{7\sqrt{10}}{2}$，
∴AD=AC=$\frac{7\sqrt{10}}{2}$，
∵∠BED=∠BDE=α，
∴BE=BD，
设BE=x，则BD=x，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
∴$（\frac{7\sqrt{10}}{2}）^{2}+（\frac{7\sqrt{10}}{4}+x）^{2}=（\frac{7\sqrt{10}}{2}+x）^{2}$，
解得：x=$\frac{7\sqrt{10}}{8}$，
∴BE=BD=$\frac{7\sqrt{10}}{8}$，
∴CE=2BE=2BD，
∴AD=4BD，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵DT∥BC，
∴△ADT∽△ABE，
∴$\frac{DT}{EB}=\frac{AD}{AB}=\frac{AT}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE=2BE，
∴$\frac{DT}{CE}$=$\frac{2}{5}$，
∵DT∥CE，
∴$\frac{TF}{EF}$=$\frac{DT}{CE}$=$\frac{2}{5}$，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7\sqrt{10}}{2}）^{2}+（\frac{7\sqrt{10}}{4}）^{2}}$=$\frac{35\sqrt{2}}{4}$，
∴ET=$\frac{1}{5}$AE=$\frac{1}{5}$×$\frac{35\sqrt{2}}{4}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴EF=$\frac{5}{7}$ET=$\frac{5}{7}$×$\frac{7\sqrt{2}}{4}$=$\frac{5}{4}\sqrt{2}$，
过F作FM⊥BC于M，
tanα=$\frac{AC}{CE}=\frac{FM}{EM}$=$\frac{\frac{7\sqrt{10}}{2}}{\frac{7\sqrt{10}}{4}}$=$\frac{2}{1}$，
设EM=y，则FM=2y，EF=$\sqrt{5}$y，
∴$\sqrt{5}$y=$\frac{5}{4}\sqrt{2}$，
y=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴FM=2y=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，EM=y=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴CM=CE-EM=$\frac{7\sqrt{10}}{4}$-$\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=$\sqrt{C{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{10}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=5；
故答案为：5．

点评 本题是三角形和四边形的综合题，考查了矩形、正方形的性质和判定，平行相似及平行线分线段成比例定理，三角函数，勾股定理等知识，比较麻烦，计算量较大；注意线段的比的关系，利用线段的比和未知数，根据勾股定理计算边的长，从而使问题得以解决．