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小明遇到这样一个问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB度数.小明发现,利用旋转和全等的知识构造△AP′C,连接PP′,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决(如图2).

图1

请回答:图1中∠APB的度数等于 ,图2中∠PP′C的度数等于 .

参考小明思考问题的方法,解决问题:

如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A坐标为(,1),连接AO.如果点B是x轴上的一动点,以AB为边作等边三角形ABC. 当C(x,y)在第一象限内时,求y与x之间的函数表达式.

(1)∠APB=150°,∠PP′C=90°;(2)y=x+2(x>0).

【解析】

试题分析:(1)把AP旋转60°得到AP′连接CP′易证△AP′C≌△APB,△P′PB是直角三角形,

△PP′C是等边三角形.就可求出∠APB=150°,∠PP′C=90°;

(2)如图,在y轴上截取OD=2,作CF⊥y轴于F,AE⊥x轴于E,连接AD和CD.

先证明△AOD是等边三角形再证明△ADC≌△AOB即可求出∠ADC=∠AOB=150°,然后得到∠CDF=30°,设出C的坐标即可求出y与x的关系式.

试题解析:图1中∠APB的度数等于150°,图1中∠PP′C的度数等于90°.

(2)如图,在y轴上截取OD=2,作CF⊥y轴于F,AE⊥x轴于E,连接AD和CD.

∵点A的坐标为(,1), ∴tan∠AOE=

∴AO=OD=2,∠AOE=30°, ∴∠AOD=60°. ∴△AOD是等边三角形.

又∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠CAB=∠OAD=60°,

∴∠CAD=∠OAB, ∴△ADC≌△AOB. ∴∠ADC=∠AOB=150°,又∵∠ADF=120°,

∴∠CDF=30°.∴DF=CF.

∵C(x,y)且点C在第一象限内,

∴y-2=x,

∴y=x+2(x>0).

考点:旋转的性质,全等三角形的应用,三角函数.

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【提出问题】

(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.

【类比探究】

(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.

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